Question

如图，已知直线l及其两侧两点A、B．
（1）在直线l上求一点O，使到A、B两点距离之和最短；
（2）在直线l上求一点P，使PA=PB；
（3）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．

Answer 1

解：（1）连接AB，线段AB交直线l于点O，
∵点A、O、B在一条直线上，
∴O点即为所求点；

（2）连接AB，
分别以A、B两点为圆心，以任意长为半径作圆，两圆相交于C、D两点，连接CD与直线l相交于P点，
连接BD、AD、BP、AP、BC、AC，
∵BD=AD=BC=AC，
∴△BCD≌△ACD，
∴∠BED=∠AED=90°，
∴CD是线段AB的垂直平分线，
∵P是CD上的点，
∴PA=PB；

（3）作B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l与点Q，连接BQ，
∵B与B′两点关于直线l对称，
∴BD=B′D，DQ=DQ，∠BDQ=∠B′DQ，
∴△BDQ≌△B′DQ，
∴∠BQD=∠B′QD，即直线l平分∠AQB．

分析：（1）根据两点之间线段最短，连接AB，线段AB交直线l于点O，则O为所求点；
（2）根据线段垂直平分线的性质连接AB，在作出线段AB的垂直平分线即可；
（3）作B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l与点Q，连接BQ，由三角形全等的判定定理求出△BDQ≌△B′DQ，再由全等三角形的性质可得出∠BQD=∠B′QD，即直线l平分∠AQB．
点评：本题考查的是两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质及角平分线的性质，熟知各题的知识点是解答此题的关键．