Question

18．如图1，△ABC中，AB=AC，点O是BC的中点，以O为圆心的⊙O与AB边相切于点D．
（1）判断AC边与⊙O的位置关系，说明理由；
（2）如图2，若AB=5，BC=6，点F为⊙O上一动点，过点F作⊙O的切线分别交AD边、AC边于点G、H，连结OG、OH．
①设∠BAC=α，则∠GOH=90°-$\frac{1}{2}$α（用含α的代数式表示）；
②若△OGH是以GH为腰的等腰三角形，求BG的长．

Answer 1

分析 （1）作OE⊥AC于E，连结OA、OD，如图1，先利用切线的性质得OD⊥AB，再根据等腰三角形的性质，由AB=AC，点O是BC的中点得到AO平分∠BAC，则利用角平分线的性质得到OE=OD，于是可根据切线的判定方法得到AC为⊙O的切线；
（2）①作OE⊥AC于E，BM⊥AC于M，连结OF、OD，如图2，由切线的性质得OF⊥GH，由切线长定理得GD=GF，HF=HE，于是可根据角平分线定理的逆定理得∠DOG=∠FOG，∠EOH=∠FOH，则∠GOH=$\frac{1}{2}$∠DOE，再由四边形内角和得到∠DOE+∠A=180°，所以∠GOEH=90°-$\frac{1}{2}$α；
②在图1中，AB=5，OB=OC=$\frac{1}{2}$BC=3，利用勾股定理和面积法先计算出OA=5，OD=$\frac{12}{5}$，BD=$\frac{9}{5}$，BM=$\frac{24}{5}$，AM=$\frac{7}{5}$，接着分类讨论：当GH=GO时，∠GHO=∠GOH=90°-$\frac{1}{2}$α，则∠OGH=α，于是可判断Rt△OGF∽Rt△BAM，利用相似比可计算出GF=$\frac{7}{10}$，则DG=GF=$\frac{7}{10}$，所以BG=BD+DG=$\frac{5}{2}$；当GH=OH时，同样可证明Rt△OHF∽Rt△BAM，利用相似比可计算出FH=$\frac{7}{10}$，OH=$\frac{5}{2}$，则GH=OH=$\frac{5}{2}$，所以GF=GH-FH=$\frac{9}{5}$=DG，则BG=BD+DG=$\frac{18}{5}$．

解答 解：（1）AC边与⊙O相切．理由如下：
作OE⊥AC于E，连结OA、OD，如图1，
∵以O为圆心的⊙O与AB边相切于点D，
∴OD⊥AB，
∵AB=AC，点O是BC的中点，
∴AO平分∠BAC，
∴OE=OD，
∴AC为⊙O的切线；
（2）①作OE⊥AC于E，BM⊥AC于M，连结OF、OD，如图2，
∵GH为⊙O的切线，
∴OF⊥GH，
∵AB和AC为⊙O的切线，
∴GD=GF，HF=HE，
∴∠DOG=∠FOG，∠EOH=∠FOH，
∴∠GOH=$\frac{1}{2}$∠DOE，
∵∠DOE+∠A=180°，
∴∠GOEH=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，
故答案为90°-$\frac{1}{2}$α；
②在图1中，AB=5，OB=OC=$\frac{1}{2}$BC=3，则OA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵$\frac{1}{2}$OD•AB=$\frac{1}{2}$OB•OA，
∴OD=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
在Rt△BOD中，BD=$\sqrt{O{B}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
在图2中，
∵$\frac{1}{2}$BM•AC=$\frac{1}{2}$BC•OA，
∴BM=$\frac{4×6}{5}$=$\frac{24}{5}$，
在Rt△ABM中，AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{7}{5}$，
当GH=GO时，∠GHO=∠GOH=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠OGH=180°-2（90°-$\frac{1}{2}$α）=α，
∴Rt△OGF∽Rt△BAM，
∴$\frac{GF}{AM}$=$\frac{OF}{BM}$，即$\frac{GF}{\frac{7}{5}}$=$\frac{\frac{12}{5}}{\frac{24}{5}}$，解得GF=$\frac{7}{10}$，
∴DG=GF=$\frac{7}{10}$，
∴BG=BD+DG=$\frac{9}{5}$+$\frac{7}{10}$=$\frac{5}{2}$；
当GH=OH时，∠GHO=∠GOH=90°-$\frac{1}{2}$α，则∠OHG=α，
∴Rt△OHF∽Rt△BAM，
∴$\frac{FH}{AM}$=$\frac{OF}{BM}$=$\frac{OH}{AB}$，即$\frac{FH}{\frac{7}{5}}$=$\frac{\frac{12}{5}}{\frac{24}{5}}$=$\frac{OH}{5}$，解得FH=$\frac{7}{10}$，OH=$\frac{5}{2}$
∴GH=OH=$\frac{5}{2}$，
∴GF=GH-FH=$\frac{5}{2}$-$\frac{7}{10}$=$\frac{9}{5}$，
∴DG=GF=$\frac{9}{5}$，
∴BG=BD+DG=$\frac{9}{5}$+$\frac{9}{5}$=$\frac{18}{5}$，
综上所述，BG的长为$\frac{5}{2}$或$\frac{18}{5}$．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆的切线的判定与性质、切线长定理和等腰三角形的性质；会利用相似比和勾股定理计算线段的长；会运用分类讨论的思想解决数学问题．