Question

【题目】已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．
（1）如图①，当PA的长度等于时，∠PAD=60°；当PA的长度等于时，△PAD是等腰三角形；
（2）如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3 ． 设P点坐标为（a，b），试求2S1S3﹣S22的最大值，并求出此时a、b的值．

Answer 1

【答案】
（1）2 ；2 或
（2）解：过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E，F延长FP交BC于点G，

则PG⊥BC，

∵P点坐标为（a，b），

∴PE=b，PF=a，PG=4﹣a，

在△PAD，△PAB及△PBC中，

S1=2a，S2=2b，S3=8﹣2a，

∵AB为直径，

∴∠APB=90°，

∴PE2=AEBE，

即b2=a（4﹣a），

∴2S1S3﹣S22=4a（8﹣2a）﹣4b2=﹣4a2+16a=﹣4（a﹣2）2+16，

∴当a=2时，b=2，2S1S3﹣S22有最大值16

【解析】解：（1）若∠PAD=60°，需∠PAB=30°， ∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
则在Rt△PAB中，PA=cos30°AB=2 ，
∴当PA的长度等于2 时，∠PAD=60°；
若△PAD是等腰三角形，当PA=PD时，
此时P位于四边形ABCD的中心，
过点P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M，
则四边形EAMP是正方形，
∴PM=PE= AB=2，
∵PM2=AMBM=4，
∵AM+BM=4，
∴AM=2，
∴PA=2 ，
当PD=DA时，以点D为圆心，DA为半径作圆与弧AB的交点为点P．
连PD，令AB中点为O，再连DO，PO，DO交AP于点G，
则△ADO≌△PDO，
∴DO⊥AP，AG=PG，
∴AP=2AG，
又∵DA=2AO，∠ADG=∠GAO，
∴ = = ，
∴AG=2OG，
设AG为2x，OG为x，
∴（2x）2+x2=4，
∴x=
∴AG=2x= ，
∴AP=
∴当PA的长度等于2 或 时，△PAD是等腰三角形；


【考点精析】通过灵活运用二次函数的最值和正方形的性质，掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形即可以解答此题．