Question

 已知抛物线（其中a ≠ c且a ≠0）.

   （1）求此抛物线与x轴的交点坐标；（用a，c的代数式表示）

（2）若经过此抛物线顶点A的直线与此抛物线的另一个交点为，

     求此抛物线的解析式；

（3）点P在（2）中x轴上方的抛物线上，直线与 y轴的交点为C，若

，求点P的坐标；

（4）若（2）中的二次函数的自变量x在n≤x＜（n为正整数）的范围内取值时，记它的整数函数值的个数为N， 则N关于n的函数关系式为        .

Answer 1

解：（1）抛物线与x轴交点的横坐标是关于x的方程（其中a ≠ 0，a ≠c）的解.

          解得 ，.

∴ 抛物线与x轴交点的坐标为，.

（2）抛物线的顶点A的坐标为.

① ② ③

        ∵ 经过此抛物线顶点A的直线与此抛物线的另一个交点为，

   

      由③得 c =0.

将其代入①、② 得  

解得 .

      ∴ 所求抛物线的解析式为 .

（3）作PE⊥x轴于点E， PF⊥y轴于点F.（如图7）

抛物线的顶点A的坐标，

点B的坐标为，点C的坐标为.

设点P的坐标为.

∵ 点P在x轴上方的抛物线上，

∴ ，且0＜m＜1，.

∴ ，.

∵ ，

∴ .

解得 m=2n，或（舍去）.

将m=2n代入，得.

解得，（舍去）.

∴ .

∴ 点P的坐标为.

    （4）N关于n的函数关系式为N=4n . 

说明：二次函数的自变量x在n≤x＜（n为正整数）的范围内取值，此时y随x的增大而减小，

∴ ＜y≤，

其中的整数有，，….

              .