Question

【题目】如图，已知直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．

（1）点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　．

（2）①求抛物线的解析式；

②直线AB与抛物线的对称轴交于点E，在x轴上是否存在点M，使得ME+MB最小，求出点M的坐标．

（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形？直接写出所有符合条件的t值．

Answer 1

【答案】（1）（﹣3，0），（0，3）；（2）①y＝﹣x2﹣2x+3；②M（﹣，0）；（3）当t为3、4±、4秒时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形

【解析】

（1）令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝﹣3，即可求解；

（2）①B的坐标为：（0，3），故c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝﹣2，即可求解；

②函数的对称轴为：x＝﹣1，点E（﹣1，2），点B（0，3），作点B关于x轴的对称点B′（0，﹣3），连接EB′交x轴于点M，则点M为所求，即可求解；

（3）分PC＝PB、BC＝PC、BC＝PB，三种情况，分别求解即可．

解：（1）y＝x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝﹣3，

故点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，3），

故答案为：（﹣3，0），（0，3）；

（2）①B的坐标为：（0，3），故c＝3，

将点A的坐标代入抛物线表达式y＝﹣x2+bx+3中得：-(-3)2-3b+3=0

解得：b＝﹣2，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；

②函数的对称轴为：x＝﹣1

将x=-1代入解析式y＝x+3得y=-1+3=2

∴点E（﹣1，2），点B（0，3），

作点B关于x轴的对称点B′（0，﹣3），连接EB′交x轴于点M，则点M为所求，

设直线B′E的表达式为y=mx+n

将B′（0，﹣3）和E（﹣1，2）代入得：

解得

则直线B′E的表达式为：y＝﹣5x﹣3，

当y＝0时，x＝﹣，故点M（﹣，0）；

（3）令y＝﹣x2﹣2x+3中y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝﹣（x﹣1）（x+3）＝0，

解得：x＝1或x＝﹣3，

∴C（1，0）．

∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，

∴D（﹣1，4），P（﹣1，4﹣t）．

∵B（0，3），C（1，0），

∴PC2＝（﹣1﹣1）2+（4﹣t）2＝t2﹣8t+20，PB2＝（﹣1）2+（4﹣t﹣3）2＝t2﹣2t+2，BC2＝12+32＝10．

①当PC＝PB时，

即t2﹣8t+20＝t2﹣2t+2解得：t＝3；

②当BC＝PC时，

即100= t2﹣8t+20解得：t＝4±；

③当BC＝PB时，

即100= t2﹣2t+2解得：t＝4或﹣2（舍去负值）

综上可知：当t为3、4±、4秒时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形．