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精英家教网如图,射线AM∥BN,∠A=∠B=90°,点D、C分别在AM、BN上运动(点D不与A重合、点C不与B重合),E是AB边上的动点(点E不与A、B重合),在运动过程中始终保持DE⊥EC且AD+DE=AB=a.
(1)求证:△ADE∽△BEC;
(2)设AE=m,请探究:△BEC的周长是否与m值有关?若有关,请用含有m的代数式表示△BEC的周长;若无关,请说明理由.
分析:(1)根据已知得出∠BEC=∠EDA,再利用∠B=90°,∠A=90°即可得出;
(2)根据△AED的周长=AE+AD+DE=a+m,BE=a-m,利用勾股定理得出AD的长,进而表示出△BEC的周长即可得出答案.
解答:(1)证明:∵DE⊥EC,
∴∠DEC=90°,
∴∠AED+∠BEC=90°
又∵∠A=∠B=90°,
∴∠AED+∠EDA=90°,
∴∠BEC=∠EDA(4分),
∴△ADE∽△BEC;

(2)△AED的周长=AE+AD+DE=a+m,BE=a-m
设AD=x,则DE=a-x(7分),
∵∠A=90°,
∴DE2=AE2+AD2
即a2-2ax+x2=m2+x2
x=
a2-m2
2a

由(1)知△ADE∽△BEC,
△ADE的周长
△BEC的周长
=
AD
BE
=
a2-m2
2a
a-m
=
a+m
2a

∴△BEC的周长=
2a•△ADE的周长
a+m
=2a

∴△BEC的周长与m的值无关.
点评:此题主要考查了相似三角形的判定以及勾股定理应用等知识,根据已知得出△ADE与△BEC周长比是解决问题的关键.
练习册系列答案
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(1)求证:△ADE∽△BEC;

(2)设AE=m,请探究:△BEC的周长是否与m值有关,若有关,请用含有m的代数式表示△BEC的周长;若无关,请说明理由.

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