Question

如图，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径长为2，大圆的弦AB与小圆交于点C、D，且AB=3CD，∠COD=60°．
（1）求大圆半径的长；
（2）若大圆的弦AE与小圆切于点F，求AE的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）求大圆的半径，需通过构建直角三角形求解．连接OA，取AB的中点M，连接OM；在构建的Rt△OAM中，OM的长可在等边△OCD中求出，而AB=3CD=6，因此AM=3；根据勾股定理可求出OA即大圆的半径长．
（2）连接OF，由切线的性质知：OF⊥AE；根据垂径定理可得AF=AE；
由于AC=CD=2，可用切割线定理求出AF的长，进而可求出AE的长．
解答：解：（1）如图，在小圆中；
∵CO=DO，∠COD=60°；
∴△COD是等边三角形；
取CD的中点M，连接OM，则OM⊥CD；
∵CO=2，
∴OM=CO=．
连接AO，在Rt△AOM中，AM=CD=3；
∴AO===2．
即大圆的半径长为2．

（2）连接OF．
∵AE是小圆的切线，且切点为F；
∴OF⊥AE．
又∵AE为大圆的弦，
∴AE=2AF．
由切割线定理，有：AF²=AC•AD；
∵AC=CD=2，AD=2CD，
∴AF=2；
∴AE=2AF=4．
点评：本题主要考查了垂径定理、解直角三角形和切割线定理．求圆的弦长等问题一般要转化为解直角三角形的问题．