Question

【题目】如图，已知等边△ABC．边长为3．点D为AC上一点，且CD=1．点E为边AB上不与A、B重合的一个动点，连接DE，以DE为对称轴，折叠△AED．点A的对应点为F，当点F落在等边△ABC的边上时，AE的长为______________

Answer 1

【答案】1或

【解析】

先判断F点只可能落在边AB或BC上，然后分两种情况：①当F点落在边BC上时，利用翻折的性质和等边三角形的性质，判断△DFC∽△FEB，得到对应边成比例，解比例式可求出AE；②F点落在边AB上时，利用30°所对的直角边等于斜边的一半即可求出AE．

解：由题意可知，F点只可能落在边AB或BC上，

①当F点落在边BC上时，

∠EFC=∠B+∠BEF，即∠EFD+∠DFC=∠B+∠BEF

∵∠EFD=∠A=∠B=60°，

∴∠DFC=∠BEF，

∴△DFC∽△FEB，

∴，

而EF+BE=EA+BE=AB=3，DF=DA=AC-CD=2，

∴，解得AE=5-，或AE=5+（舍去）；

②F点落在边AB上时，

∠A=∠DFE=60°，∠DEA=90°，

∴∠ADE=30°，

∴AE=AD=（AC-CD）=×2=1．

所以AE的长为1或5-．

故答案为：1或5-．