Question

【题目】如图（1），矩形OABC的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为(5，4)，点P是射线BA上的一动点，把矩形OABC沿着CP折叠，点B落在点D处．

（1）当点C、D、A共线时，AD=　　　　；

（2）如图（2），当点P与点A重合时，CD与x轴交于点E，过点E作EF⊥AC，交BC于点F，请判断四边形AECF的形状，并说明理由；

（3）若点D正好落在x轴上，请直接写出点P的坐标：　　　　．

Answer 1

【答案】（1）；（2）四边形CEAF是菱形，见解析；（3）（5，）或（5，-6）

【解析】

（1）由翻折可以得到CD=CB=5，根据勾股定理可以求出AC=，点C、D、A共线时，可知AD=AC-CD=-5；

（2）根据对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，可得结论；
（3）分两种情况：
①如图3，点D在x轴正半轴上时，易得△PAD∽△DOC，列比例式可得结论；
②如图4，当D在x轴的负半轴上时，易得△COD∽△DAP，同理可得结论．

解：（1）如图1，∵矩形OABC，点B坐标为（5，4），

∴BC=5，AB=4，
由勾股定理得：AC=，
由折叠得：CD=BC=5，
当点C、D、A共线时，AD=AC-CD=，
故答案为：；

（2）如图2，四边形CEAF是菱形，

理由是：由折叠得：∠FCA=∠ECA，
∵AC⊥EF，
∴EG=FG，
∵CF∥AE，
∴∠FCA=∠EAC，
∵∠CGF=∠AGE，
∴△CGF≌△AGE，
∴AG=CG，
∴四边形CEAF是菱形；

（3）分两种情况：
①如图3，点D在x轴正半轴上时，

在Rt△COD中，OC=4，CD=5，
∴OD=3，
∴AD=5-3=2，
∵∠PDC=90°，
易得△PAD∽△DOC，

②如图4，当D在x轴的负半轴上时，

由勾股定理得：OD=3，
∵∠CDP=90°，
∴∠CDO+∠ODP=∠ODP+∠DPA=90°，
∴∠CDO=∠DPA，
∵∠DOC=∠DAP，
∴△COD∽△DAP，

综上所述，点P的坐标为（5，）或（5，-6）．