Question

12．已知：正方形ABCD边长为2，AB∥y轴，A（3，a），一次函数y=kx-k+2的图象始终与y轴正半轴交于点P．
（1）如图1，若一次函数y=kx-k+2的图象经过B，D两点，求k的值；
（2）如图2，若一次函数y=kx-k+2的图象过点A，y随x的增大而增大，直线CQ∥AP，Q（0，b），求b的取值范围；
（3）如图3，若a=k＜0，一次函数y=kx-k+2的图象与正方形ABCD有交点，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意B（3，a-2），D（5，a），把B（3，a-2），D（5，a）代入y=kx-k+2转化为解方程组即可；
（2）由y=kx-k+2经过点A（3，a），推出a=3k-k+2，推出k=$\frac{a-2}{2}$，由题意0＜k＜2，推出0＜$\frac{a-2}{2}$＜2，推出2＜a＜6，由C（5，a-2），CQ∥AP，设直线CQ的解析式为y=$\frac{a-2}{2}$x+b，推出a-2=$\frac{5}{2}$（a-2）+b，可得b=-$\frac{3}{2}$a+3，由2＜a＜6，即可求出b的范围；
（3）分别求出直线经过点B、D时的K的值即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，

由题意B（3，a-2），D（5，a），
把B（3，a-2），D（5，a）代入y=kx-k+2得到
$\left\{\begin{array}{l}{3k-k+2=a-2}\\{5k-k+2=a}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{a=6}\end{array}\right.$
∴A（3，6），B（3，4），D（5，6），C（5，4），
∴k=1．

（2）如图2中，

∵y=kx-k+2经过点A（3，a），
∴a=3k-k+2，
∴k=$\frac{a-2}{2}$，
由题意0＜k＜2，
∴0＜$\frac{a-2}{2}$＜2，
∴2＜a＜6，
∵C（5，a-2），CQ∥AP，
设直线CQ的解析式为y=$\frac{a-2}{2}$x+b，
∴a-2=$\frac{5}{2}$（a-2）+b，
∴b=-$\frac{3}{2}$a+3，∵2＜a＜6，
∴-6＜b＜0．

（3）如图3中，

∵a=k＜0．
∴当直线y=kx-k+2经过点B（3，k-2）时，k-2=3k-k+2，解得k=-4，
当直线y=kx-k+2经过点D（5，k）时，k=5k-k+2，解得k=-$\frac{2}{3}$，
由题意，若a=k＜0，一次函数y=kx-k+2的图象与正方形ABCD有交点，k的取值范围为-4≤k≤-$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查一次函数综合题、正方形的性质、坐标与图形的性质、一次函数的性质、两直线平行的条件等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，熟练掌握待定系数法解决问题，学会把问题转化为方程组、不等式，属于中考压轴题．