Question

4、满足方程x³+6x²+5x=27y³+9y²+9y+1的正整数对（x，y）有（　　）

A、0对

B、1对

C、3对

D、无数对

Answer 1

分析：观察方程x³+6x²+5x=27y³+9y²+9y+1可发现27y³+9y²+9y+1=3（9y³+3y²+3y）+1，假设3（9y³+3y²+3y）+1=3k+1，则可知3（9y³+3y²+3y）+1为奇数．分别分x=3n+1，x=3n+2，讨论x（x+5）（x+1）的结果是不是等于奇数．进而求出满足条件的正整数对（x，y）．

解答：解：x（x+5）（x+1）=3（9y³+3y²+3y）+1=3k+1，
首先，x（x+5）（x+1）必须不是3的倍数，
令x=3n+1，则x+5=3n+6为3的倍数，
令x=3n+2，则x+1=3n+3为3的倍数，
所以，满足此方程的x必须既不是3的倍数，不能等于3n+1，也不能等于3n+2．
故此题无正整数解．
故选A．

点评：本题考查因式分解．做好本题的关键是对“=”两边的式子进行因式分解，并假设等式成立，就x取值，讨论27y³+9y²+9y+1的存在性．