Question

问题情境：如图①，已知在△ABC中，AB=AC，D为AC边的中点，连接BD，则图中有两个直角三角形，不需要证明．
特例探究：如图②，已知在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D为AC边的中点，连接BD，判断△ABD是什么三角形，并说明理由．
归纳证明：如图③，已知在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D为AC边的中点，连接BD，把Rt△DEF的直角顶点D放在AC的中点上，DE交AB于M，DF交BC于N．证明：DM=DN．
拓展应用：如图③，已知在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，D为AC边的中点，连接BD，把Rt△DEF的直角顶点D放在AC的中点上，DE交AB于M，DF交BC于N．请直接写出Rt△DEF与△ABC的重叠部分（四边形DMBN）的面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,等腰直角三角形

专题：几何综合题

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质和三线合一，直接证得△ABD是等腰直角三角形即可；
（2）证得△DMA≌△DNB（ASA），即可得出答案；
（3）由（2）可知△DMA≌△DNB（ASA），同理可得△BDM≌△DCN（ASA），由此得出Rt△DEF与△ABC的重叠部分（四边形DMBN）的面积是△ABC面积的一半，得出结论．

解答：（1）解：△ABD是等腰直角三角形．
理由：∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵D为AC边的中点，
∴BD⊥AC，AD=CD=

1

2

AC，BD=

1

2

AC，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形．
（2）证明：∵AB=CB，
∴∠A=∠C=45°，
∵D是AC的中点，
∴DA=DC=BD，∠DBN=45°，BD⊥AC
∴∠ADB=∠ADM+∠BDM=90°，
∴∠A=∠DBN．
∵∠EDF=90°，
∴∠BDN+∠BDM=90°，
∴∠ADM=∠BDN
在△DMA和△DBN中

∠ADM=∠BDN AD=BD ∠A=∠DBN

，
∴△DMA≌△DBN（ASA），
∴DM=DN． 
（3）解：由（2）可知△DMA≌△DNB（ASA），
同理可得△BDM≌△DCN（ASA），
∴S_{四边形DMBN}=S_△BDM+S_△DBN=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

1

2

×2×2=1．

点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，角平分线性质等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，综合性也比较强．