Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，cosA=$\frac{1}{4}$，点P是AB上的动点，以PA为半径作⊙P．若⊙C的半径等于1，且⊙P与⊙C的公共弦长为$\sqrt{2}$，求AP的长．

Answer 1

分析 设⊙P与⊙C的公共弦EF与PC交于点O，如图3，根据勾股定理可得CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，PO=$\sqrt{{x}^{2}-\frac{1}{2}}$，从而有CP=$\sqrt{{x}^{2}-\frac{1}{2}}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，然后在Rt△CHP中，运用勾股定理即可求出x的值即可．

解答 解：设AP=x，过点P作PH⊥AC，垂足为H，连接PC，如图1，
则有AH=APcosA=$\frac{1}{4}$x，PH=$\sqrt{A{P}^{2}-A{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$x，
设⊙P与⊙C的公共弦EF与PC交于点O，如图3，
则有EF=$\sqrt{2}$，EO=OF=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，PC⊥EF，CE=CF=1，PE=PF=x，
∴CO=$\sqrt{C{E}^{2}-O{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，PO=$\sqrt{P{E}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-\frac{1}{2}}$，
∴CP=OP+CO=$\sqrt{{x}^{2}-\frac{1}{2}}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在Rt△CHP中，
∵CH²+PH²=PC²，
∴（4-$\frac{1}{4}$x）²+（$\frac{\sqrt{15}}{4}$x）²=（$\sqrt{{x}^{2}-\frac{1}{2}}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，
整理得16-2x=$\sqrt{2{x}^{2}-1}$，
∴（16-2x）²=2x²-1，
整理得2x²-64x+257=0，
解得：x₁=$\frac{32-\sqrt{510}}{2}$，x₂=$\frac{32+\sqrt{510}}{2}$．
∵点P是边AB上的动点，
∴AP=x≤16，
∴AP=$\frac{32-\sqrt{510}}{2}$．

点评 本题主要考查了垂径定理、相交两圆的性质、勾股定理、三角函数、同圆或同圆中弦与弦心距之间的关系等知识，要求一个未知数的值，通常可运用相似三角形的性质、勾股定理或三角函数建立方程，然后解这个方程就可解决问题．