Question

（2009•平谷区一模）如图，点A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函数的图象上．
（1）求m，k的值；
（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．

Answer 1

【答案】分析：（1）求m、k两个未知字母，把A、B两点代入反比例函数即可；
（2）按图中所给情况，M、N有可能都在坐标轴的正半轴，也有可能在坐标轴的负半轴，平移应找到对应点，看是如何平移得到．求出直线MN的函数表达式，需求出A，B两点的坐标．
解答：解：（1）由题意可知，m（m+1）=（m+3）（m-1），解得m=3，（2分）
∴A（3，4），B（6，2），
∴k=4×3=12；（3分）

（2）存在两种情况，如图：
①当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴上时，设M₁点坐标为（x₁，0），
N₁点坐标为（0，y₁），
∵四边形AN₁M₁B为平行四边形，
∴线段N₁M₁可看作由线段AB向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的，
（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）
由（1）知A点坐标为（3，4），B点坐标为（6，2），
∴N₁点坐标为（0，4-2），即N₁（0，2），
M₁点坐标为（6-3，0），即M₁（3，0），（4分）
设直线M₁N₁的函数表达式为y=k₁x+2，
把x=3，y=0代入，解得，
∴直线M₁N₁的函数表达式为；（5分）
②当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时，
设M₂点坐标为（x₂，0），N₂点坐标为（0，y₂），
∵AB∥N₁M₁，AB∥M₂N₂，AB=N₁M₁，AB=M₂N₂，
∴N₁M₁∥M₂N₂，N₁M₁=M₂N₂，
∴四边形N₁M₂N₂M₁为平行四边形，
∴点M₁、M₂与线段N₁、N₂关于原点O成中心对称，
∴M₂点坐标为（-3，0），N₂点坐标为（0，-2），（6分）
设直线M₂N₂的函数表达式为y=k₂x-2，
把x=-3，y=0代入，解得，
∴直线M₂N₂的函数表达式为．
所以，直线MN的函数表达式为或．（7分）
点评：过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式．平行四边形从动态来看也可以是由一条线段平移得到的．