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    如图,把一个等腰直角三角板放置于矩形上，三角板的一个角的顶点放在处, 且直角边在矩形内部绕点旋转，在旋转过程中与交于点.
    （1）如图1，试问线段与的有何数量关系？并说明理由；
    （2）如图1，是否存在为等腰三角形，若存在，求出的长，若不存在，说明理由.
    继续以下探索：
    （3）如图2，以为边在矩形内部作正方形，直角边所在的直线交于，交于.设写出关于的函数关系式.

    （1）=；（2）或；（3）

    解析试题分析：（1）连接AF，先根据矩形的性质可得AD=BC，∠D=90°，由AE=BC可得AE=AD，再由∠E=90°可得∠D =∠E，即可证得Rt△AEF≌Rt△ADF，从而得到结论；
    （2）分三种情况：①当时，②当=13时，③当时，根据等腰三角形的性质结合勾股定理求解即可；
    （3）同（1）证OE=OI，再根据勾股定理求解即可.
    （1）=.
    连接AF

    ∵ABCD是矩形
    AD=BC，∠D=90°
    ∵ AE=BC
    AE=AD
    ∵∠E=90°
    ∠D =∠E
    又∵AF=AF
    Rt△AEF≌Rt△ADF（HL）
    DF=EF；
    （2）分三种情况：
    ①如图1，当时，过作于，于.


    ,



    设


    ②如图2，当=13时，则



    不可能出现.
    ③如图3，当时

    在的垂直平分线上.

    ,



    ；
    （3）如图4，同（1）证



     

    考点：直角三角板的综合题
    点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．

    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    24、如图，把一个等腰直角三角形ABC沿斜边上的高CD（裁剪线）剪一刀，从这个三角形中裁下一部分，与剩下部分能拼成一个四边形A′BCD（见示意图1）．
    （1）猜一猜：四边形A′BCD一定是
    平行四边形
    形；
    （2）试一试：按上述的裁剪方法，请你拼一个与图（1）形状不同的四边形，并在图（2）中画出示意图．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    19、如图，把一个等腰直角三角形ABC沿斜边上的高BD剪下，与剩下部分能拼成一个平行四边形BCFD（见示意图①）
    （1）想一想判断四边形BCFD是平行四边形的依据是
    一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
    ．（用平行四边形的判定方法叙述）
    （2）做一做按上述方法，请你拼一个与图①位置或形状不同的平行四边形，并在图②中画出示意图．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，把一个等腰直角三角形以它的对称轴为折痕不断地对折下去，…如果对折2次，则所得小等腰直角三角形的周长是原等腰直角三角形周长的
     
    倍；如果对折2008次，则所得小等腰直角三角形的周长是原等腰直角三角形周长的
     
    倍．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    23、尝试：如图，把一个等腰直角△ABC沿斜边上的中线CD（裁剪线）剪一刀，把分割成的两部分拼成一个四边形ABCD，如示意图1．（以下有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明）
    （1）猜一猜：四边形ABCD一定是
    平行四边形
    ；
    （2）试一试：按上述的裁剪方法，请你拼一个与图1不同的四边形，并在图2中画出示意图．
    探究：在等腰直角△ABC中，请你沿一条中位线（裁剪线）剪一刀，把分割成的两部分拼成一个四边形．
    （1）想一想：你能拼得四边形分别是
    平行四边形、矩形或者等腰梯形
    （写出两种即可）：
    （2）画一画：请分别在图3、图4中画出你拼得的这两个四边形的示意图．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）如图，把一个等腰直角△ABC沿斜边上的高BD（裁剪线）剪一刀，从这个三角形中裁下一部分，与剩下部分拼成一个四边形A′BCD（见示意图A）．
    ①猜一猜，四边形A′BCD一定是
     
    形．
    ②试一试，按上述裁剪方法，请你拼一个与图A形状不同的四边形，并在图B中画出示意图．
    （2）在等腰直角三角形△ABC中，请你找出与（1）不同的裁剪线，把分割成的两部分拼成一个特殊的四边形，请你在图C中画出你拼得的特殊的四边形的示意图．
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