Question

△ABC是等边三角形，点A与点D的坐标分别是A（4，0），D（10，0）．

（1）如图1，当点C与点O重合时，求直线BD的解析式；
（2）如图2，点C从点O沿y轴向下移动，当以点B为圆心，AB为半径的⊙B与y轴相切（切点为C）时，求点B的坐标；
（3）如图3，点C从点O沿y轴向下移动，当点C的坐标为C时，求∠ODB的正切值．

Answer 1

解：（1）∵A（4，0），∴OA=4。
∴等边三角形ABC的高就为。∴B（2，）。
设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得
，解得：。
∴直线BD的解析式为：。
（2）作BE⊥x轴于E，∴∠AEB=90°。

∵以AB为半径的⊙S与y轴相切于点C，
∴BC⊥y轴。∴∠OCB=90°。
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°。∴∠ACO=30°。
∴AC=2OA。
∵A（4，0），∴OA=4。∴AC=8。
∴由勾股定理得：OC=。
∵BE⊥x轴，∴AE= OA=4。∴OE=8。
∴B（8，）。
（3）如图，以点B为圆心，AB为半径作⊙B，交y轴于点C、E，过点B作BF⊥CE于F，连接AE，

∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AB，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°。
∴∠OEA=∠ABC=30°。∴AE=2OA。
∵A（4，0），∴OA=4。∴AE=8。
在Rt△AOE中，由勾股定理，得OE=。
∵C（0，），∴OC=。
在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC=。
∵，BF⊥CE，∴CF=CE=。
∴。
在Rt△CFB中，由勾股定理，得，
∴B（5，）。
过点B作BQ⊥x轴于点Q，
∴BQ=，OQ=5。∴DQ=5。
∴。

试题分析：（1）先根据等边三角形的性质求出B点的坐标，直接运用待定系数法就可以求出直线BD的解析式。
（2）作BE⊥x轴于E，就可以得出∠AEB=90°，由圆的切线的性质就可以而出B的纵坐标，由直角三角形的性质就可以求出B点的横坐标，从而得出结论。
（3）以点B为圆心，AB为半径作⊙B，交y轴于点C、E，过点B作BF⊥CE于F，连接AE．根据等边三角形的性质、圆心角与圆周角之间的关系及勾股定理就可以点B的坐标，作BQ⊥x轴于点Q，根据正切值的意义就可以求出结论。