Question

已知：关于x的一元二次方程ax²+2（a-3）x+a+3=0有两个实数根，且a为非负整数．
（1）求a的值；
（2）若抛物线y=ax²+2（a-3）x+a+3向下平移m（m＞0）个单位后过点（1，n）和点（2，2n+1），求m的值；
（3）若抛物线y=ax²+2（a-3）x+a+3+k上存在两个不同的点P、Q关于原点对称，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据根的判别式△≥0，根据一元二次方程成立的条件，知a≠0，求解即可；
（2）根据坐标平移的性质得到新点坐标，结合已知条件列方程组解答；
（3）根据中心对称的定义，设出两个中心对称点，代入解析式列出方程组，再结合根的判别式解答．

解答：解：（1）依题意，得△=[2（a-3）]²-4a（a+3）=-36a+36≥0，
解得a≤1，
又a≠0且a为非负整数，
∴a=1，
∴y=x²-4x+4．
（2）解法一：
抛物线y=x²-4x+4过点（1，1），（2，0），
向下平移m（m＞0）个单位后得到点（1，n）和点（2，2n+1）
∴

0-(2n+1)=m 1-n=m

，解得m=3．
解法二：
抛物线y=x²-4x+4向下平移m（m＞0）个单位后得：y=x²-4x+4-m，
将点（1，n）和点（2，2n+1）代入解析式得

1-m=n -m=2n+1

，
解得m=3．
（3）设P（x₀，y₀），则Q（-x₀，-y₀），
∵P、Q在抛物线y=x²-4x+4+k上，将P、Q两点坐标分别代入得：

x02-4x0+4+k=y0 x02+4x0+4+k=-y0

，
将两方程相加得：2x₀²+8+2k=0，
即x₀²+4+k=0，
∵△=-4（4+k）＞0，
∴k＜-4．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点坐标和根的判别式，综合性很强，同时要利用方程组进行解答．解答时要体会方程组的解即为交点坐标．