Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点G是△ABC的三条中线的交点，作GD⊥AB于点D，GE⊥BC于点E，GF⊥AC于点F，AC=3，BC=12．求S_△DEF的值．

Answer 1

分析 连结AG并延长，交BC于H．由点G是△ABC的三条中线的交点，可得点G是△ABC的重心，根据重心的性质得出HC=$\frac{1}{2}$BC=6，AG=2GH．由GF∥HC，得出$\frac{AF}{AC}$=$\frac{GF}{HC}$=$\frac{AG}{AH}$=$\frac{2}{3}$，求出AF=2，GF=4，于是EC=GF=4，GE=CF=1．根据S_△ABG+S_△BCG+S_△ACG=S_△ABC，求出GD=$\frac{4\sqrt{153}}{51}$，在Rt△AHC中利用勾股定理得出AH=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，则AG=$\frac{2}{3}$AH=2$\sqrt{5}$，AD=$\sqrt{A{G}^{2}-G{D}^{2}}$=$\frac{6\sqrt{153}}{17}$，BD=AB-AD=$\frac{11\sqrt{153}}{17}$，然后根据S_△DEF=S_△ABC-S_△BDE-S_△ADF-S_△ECF，代入数值计算即可求解．

解答 解：如图，连结AG并延长，交BC于H．
∵点G是△ABC的三条中线的交点，
∴HC=$\frac{1}{2}$BC=6，AG=2GH．
∵GF⊥AC于点F，∠ACB=90°，
∴GF∥HC，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{GF}{HC}$=$\frac{AG}{AH}$，
即$\frac{AF}{3}$=$\frac{GF}{6}$=$\frac{2}{3}$，
∴AF=2，GF=4．
∵GE⊥BC于点E，GF⊥AC于点F，∠ACB=90°，
∴四边形GECF是矩形，
∴EC=GF=4，GE=CF=AC-AF=3-2=1．
∵S_△ABG+S_△BCG+S_△ACG=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$AB•GD+$\frac{1}{2}$BC•GE+$\frac{1}{2}$AC•GF=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{1{2}^{2}+{3}^{2}}$•GD+$\frac{1}{2}$×12×1+$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$×12×3，
∴GD=$\frac{4\sqrt{153}}{51}$．
∵在Rt△AHC中，∠ACH=90°，AC=3，CH=6，
∴AH=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴AG=$\frac{2}{3}$AH=2$\sqrt{5}$，
∵GD⊥AB于点D，
∴AD=$\sqrt{A{G}^{2}-G{D}^{2}}$=$\frac{6\sqrt{153}}{17}$，
BD=AB-AD=$\sqrt{153}$-$\frac{6\sqrt{153}}{17}$=$\frac{11\sqrt{153}}{17}$．
S_△DEF=S_△ABC-S_△BDE-S_△ADF-S_△ECF
=$\frac{1}{2}$×12×3-$\frac{1}{2}$×$\frac{11\sqrt{153}}{17}$×8×$\frac{3}{\sqrt{153}}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{6\sqrt{153}}{17}$×2×$\frac{12}{\sqrt{153}}$-$\frac{1}{2}$×4×1
=18-$\frac{132}{17}$-$\frac{72}{17}$-2
=4．

点评 本题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，也考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，三角形的面积．准确作出辅助线是解题的关键．