Question

已知：⊙P是边长为6的等边△ABC的外接圆，以过点A的直径所在直线为x轴，以BC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，x轴与⊙P交于点D．
（1）求A，B，D三点坐标．
（2）求过A，B，D三点的抛物线的解析式．
（3）⊙P的切线交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，切点为点E，且∠NMO=30°，试判断直线MN是否过抛物线的顶点？并说明理由．

Answer 1

解：（1）在直角三角形ABO中，AB=6，∠ABO=60°，
因此OB=3，OA=3．
在直角三角形OBD中，∠DBC=∠DAC=30°，OB=3，
因此OD=．
因此A点的坐标为（3，0），B点的坐标为（0，3），D点的坐标为（-，0）．

（2）设抛物线的解析式为y=a（x+）（x-3），
由于抛物线过B点，
则有：3=a××（-3），a=-．
∴抛物线的解析式为y=-x²+x+3=-（x-）²+4．

（3）连接PE，过E作EF⊥x轴于F，则PE⊥MN．
在直角△PEM中，∠NMO=30°，PE=2，
∴PM=4
∴OM=OP+PM=5，
在直角△OMN中，∠NMO=30°，OM=5
∴ON=5
因此M的坐标为（5，0），N点的坐标为（0，5）．
设直线MN的解析式为y=kx+5．
则有：5k+5=0，k=-
即直线MN的解析式为y=-x+5．
易知抛物线的顶点坐标为（，4）
当x=时，直线MN的值为y=-3+5=2，
因此抛物线顶点不在直线MN上．
分析：（1）根据正三角形ABC的边长为6，可得出B，C的坐标分别为（0，3），（0，-3）．可在直角三角形ABO中，根据AB的长和∠ABO的度数利用三角函数求出OA的长，即可得出A点的坐标，然后用同样的方法可求出OD的长，即可得出D点的坐标．
（2）由于抛物线过A，D两点，可用交点式二次函数通式设抛物线的解析式，然后将B点坐标代入抛物线中即可得出抛物线的解析式．
（3）本题的关键是求出直线MN的解析式，首先要知道直线MN上任意两点的坐标．可连接PE，可在直角三角形PEM中，根据∠NMO的度数和半径的长求出PM的值，同理可在直角三角形OMN中求出ON的长，由此可求出M、N两点的坐标，用待定系数法先求出直线MN的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入直线MN中即可判断出直线MN是否过抛物线的顶点．
点评：本题主要考查了用待定系数法确定二次函数解析式，等边三角形的性质，解直角三角形以及切线的性质等知识点，考查学生数形结合的数学思想方法．