如图.在平面直角坐标系中.有一条直线l:y=-33x+4与x轴.y轴分别交于点M.N.一个高为3的等边三角形ABC.边BC在x轴上.将此三角形沿着x轴的正方向平移．(1)在平移过程中.得到△A1B1C1.此时顶点A1恰落在直线l上.写出A1点的坐标．(2)继续向右平移.得到△A2B2C2.此时它的外心(即三角形三边垂直平分线的交点)P恰好落在直线l上.求P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在平面直角坐标系中，有一条直线l：y=-

x+4与x轴、y轴分别交于点M、N，一个高为3的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移．
（1）在平移过程中，得到△A₁B₁C₁，此时顶点A₁恰落在直线l上，写出A₁点的坐标

．
（2）继续向右平移，得到△A₂B₂C₂，此时它的外心（即三角形三边垂直平分线的交点）P恰好落在直线l上，求P点的坐标；
（3）在直线l上是否存在这样的点，与（2）中的A₂、B₂、C₂任意两点能同时构成三个等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据等边三角形ABC的高为3，得出A₁点的纵坐标为3，再代入y=-

x+4即可；
（2）设P（x，y），连接A₂P并延长交x轴于点H，连接B₂P，先求出A₂B₂=2

，HB₂=

，根据点P是等边三角形A₂B₂C₂的外心，得出PH=1，将y=1代入y=-

x+4，即可得出点P的坐标；
（3）根据点P是等边三角形A₂B₂C₂的外心，得出△PA₂B₂，△PB₂C₂，△PA₂C₂是等腰三角形，可得P点坐标．

解答：解：（1）A₁（

，3）
（2）P（3

，1）
解：（1）∵等边三角形ABC的高为3，
∴A₁点的纵坐标为3，
∵顶点A₁恰落在直线l上，
∴3=-

x+4，
解得：x=

，
∴A₁点的坐标是（

，3），
故答案为：（

，3）；
（2）如图：

设P（x，y），连接A₂P并延长交x轴于点H，连接B₂P，
在等边三角△A₂B₂C₂中，高A₂H=3，
∴A₂B₂=2

，HB₂=

，
∵点P是等边三角形A₂B₂C₂的外心，
∴∠PB₂H=30°，
∴PH=1，即y=1，
将y=1代入y=-

x+4，
解得：x=3

，
∴P（3

，1）；
（3）如图：

；
∵点P是等边三角形A₂B₂C₂的外心，
∴△PA₂B₂，△PB₂C₂，△PA₂C₂是等腰三角形，
∴点P满足的条件，由（2）得P（3

，1），
由（2）得，C₂（4

，0），点C₂满足直线y=-

x+4的关系式，
∴点C₂与点M重合，
∴∠PMB₂=30°，
设点Q满足的条件，△QA₂B₂，△B₂QC₂，△A₂QC₂能构成等腰三角形，
此时QA₂=QB₂，B₂Q=B₂C₂，A₂Q=A₂C₂，
作QD⊥x轴与点D，连接QB₂，
∵QB₂=2

，∠QB₂D=2∠PMB₂=60°，∴QD=3，
∴Q（

，3），设点S满足的条件，△SA₂B₂，△C₂B₂S，△C₂PA₂是等腰三角形，
此时SA₂=SB₂，C₂B₂=C₂S，C₂A₂=C₂S，
作SF⊥x轴于点F，
∵SC₂=2

，∠SB₂C₂=∠PMB₂=30°，
∴SF=

，
∴S（4

-3，

），
设点R满足的条件，△RA₂B₂，△C₂B₂R，△C₂A₂R能构成等腰三角形，
此时RA₂=RB₂，C₂B₂=C₂R，C₂A₂=C₂R，
作RE⊥x轴于点E，
∵RC₂=2

，∠RC₂E=∠PMB₂=30°，
∴ER=

，
∴R（4

+3，-

），
存在四个点，分别是P（3

，1），Q（

，3），S（4

-3，

），R（4

+3，-

）．

点评：本题考查了一次函数综合题，（1）利用函数值求自变量的值，（2）利用了等边三角形的性质，利用了函数值与自变量的关系；（3）利用了三角形的外心到三角形的顶点相等．

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