Question

如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度6米，底部宽度OM为12米，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴建立直角坐标系．
（1）求这条抛物线的解析式（不必写x的取值范围）；
（2）若要搭建一个矩形支架AD-DC-CB（由三段组成）使C、D在抛物线上，A、B在地面OM上，则这个支架总长L的最大值是多少米？

Answer 1

分析：（1）先根据所建坐标系求出顶点P的坐标，再设解析式为顶点式，把原点O的坐标代入，运用待定系数即可求出解析式；
（2）总长由三部分组成，根据它们之间的关系可设A点坐标为（m，0），用含m的式子表示三段的长，再求其和的表达式，然后运用函数的性质求解．

解答：解：（1）∵某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度6米，
∴顶点P的纵坐标为6，
又∵底部宽度OM为12米，
∴顶点P的横坐标也为6，
∴P（6，6）．
设抛物线的解析式为：y=a（x-6）²+6．
∵抛物线y=a（x-6）²+6经过点（0，0），
∴0=a（0-6）²+6，解得a=-

1

6

．
∴抛物线解析式为：y=-

1

6

（x-6）²+6，即y=-

1

6

x²+2x；

（2）设A（m，0），则B（12-m，0），C（12-m，-

1

6

m²+2m），D（m，-

1

6

m²+2m）．
则“支撑架”总长：AD+DC+CB=（-

1

6

m²+2m）+（12-2m）+（-

1

6

m²+2m）
=-

1

3

m²+2m+12
=-

1

3

（m-3）²+15．
∵此二次函数的图象开口向下．
∴当m=3米时，AD+DC+CB有最大值为15米．

点评：本题考查了二次函数的应用，难度在第（2）问，要分别求出三部分的表达式再求其和．关键在于根据图形特点选取一个合适的参数表示它们，得出关系式后运用函数性质来解．