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已知:如图,二次函数图象的顶点坐标为C(1,-2),直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点坐标为(3,0),B点在y轴上.点P为线段AB上的一个动点(点P与点A、B不重合),过点P且垂直于x轴的直线与这个二次函数的图象交于点E.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)设点P的横坐标为x,求线段PE的长(用含x 的代数式表示);
(3)点D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,若以点P、E、D为顶点的三角形与△AOB相似,请求出P点的坐标.

【答案】分析:(1)首先设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-2,由A点坐标为(3,0),则可将A点的坐标代入函数解析式,利用待定系数法即可求得这个二次函数的解析式;
(2)首先利用待定系数法求得直线AB的解析式,然后由P在直线上,将x代入直线方程,即可求得P的纵坐标,又由E在抛物线上,则可求得E的纵坐标,它们的差即为PE的长;
(3)分别从当∠EDP=90°时,△AOB∽△EDP与当∠DEP=90°时,△AOB∽△DEP两种情况去分析,注意利用相似三角形的对应边成比例等性质,即可求得答案,注意不要漏解.
解答:解:(1)设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-2,
∵A(3,0)在抛物线上,
∴0=a(3-1)2-2
∴a=
∴y=(x-1)2-2,

(2)抛物线与y轴交点B的坐标为(0,),
设直线AB的解析式为y=kx+m,


∴直线AB的解析式为y=x-
∵P为线段AB上的一个动点,
∴P点坐标为(x,x-).(0<x<3)
由题意可知PE∥y轴,∴E点坐标为(x,x2-x-),
∵0<x<3,
∴PE=(x-)-(x2-x-)=-x2+x,

(3)由题意可知D点横坐标为x=1,又D点在直线AB上,
∴D点坐标(1,-1).
①当∠EDP=90°时,△AOB∽△EDP,

过点D作DQ⊥PE于Q,
∴xQ=xP=x,yQ=-1,
∴△DQP∽△AOB∽△EDP,

又OA=3,OB=,AB=
又DQ=x-1,
∴DP=(x-1),

解得:x=-1±(负值舍去).
∴P(-1,)(如图中的P1点);
②当∠DEP=90°时,△AOB∽△DEP,

由(2)PE=-x2+x,DE=x-1,

解得:x=1±,(负值舍去).
∴P(1+-1)(如图中的P2点);
综上所述,P点坐标为(-1,)或(1+-1).
点评:此题考查了待定系数法求函数的解析式,线段的长度的求解方法,相似三角形的判定与性质等知识.此题综合性很强,解题的关键是方程思想,分类讨论思想与数形结合思想的应用.
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(2)在直线x=m(m>2)上有一点P(点P在第一象限),使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似,求P点的坐标(用含m的代数式表示);
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3
3
x+
3
对称.
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2
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x2-
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x-
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3
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