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【题目】如图所示,AB是⊙O的直径,点C是弧AB的中点,点D是弧BC的中点,连接ACBCADBD,且ADBC相交于点F,延长ACE,使ACEC,连接EBAD的延长线于点G

1)求证:EB是⊙O的切线;

2)求证;AF2BD

3)求证:线段BG是线段CF和线段EG的比例中项.

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)详见解析

【解析】

1)由“SAS”可证ABC≌△EBC,可得∠ABC=EBC=45°,可得∠EBA=90°,即可得结论;

2)延长BDAE于点M,由“ASA”可证ADB≌△ADMACF≌△BCM,可得BD=DMAF=BM=2BD

3)过点FFNAB,过点GGKAE,由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得BFCFEGKGBGBF,即可得结论.

证明:(1∵AB⊙O 的直径,

∴∠ACB90°

C是弧AB的中点,

∴∠ABC45°

∵ACEC∠ACB∠ECB90°BCBC

∴△ABC≌△EBCSAS

∴∠ABC∠EBC45°

∴∠EBA90°,且AB⊙O 的直径

∴EB⊙O的切线.

2)如图,延长BDAE于点M

∵AB⊙O 的直径

∴∠ACB90°∠ADB90°

D是弧BC的中点

∴∠MAD∠BAD∠BAC22.5°,且∠ADB∠ADM90°ADAD

∴△ADB≌△ADMASA

∴BDDM

∴BM2BD

C是弧AB的中点

∴ACBC∠ACF∠BCM90°∠CBD∠CAD

∴△ACF≌△BCMAAS

∴AFBM

∴AF2BD

3)如图,过点FFN⊥AB,过点GGK⊥AE,垂足分别为NK

由(2)可知∠CAD∠BAD22.5°∠ABC∠E45°

∴∠BFD∠BAF+∠ABF22.5°+45°67.5°∠BGF∠CAD+∠E22.5°+45°67.5°

∴∠BFD∠BGF

∴BFBG

∵∠CAF∠NAFFC⊥AEFN⊥AB

∴NFCF

∵∠ABC45°∠FNB90°

∴NFBNCF

同理

∴BF是线段CF和线段EG的比例中项.

即线段BG是线段CF和线段EG的比例中项.

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