Question

如图边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动（不与B、C重合），连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，记CD的长为t．
（1）点D在运动到某一位置时，能否看作是点A关于直线OE对称的对称点，为什么？
（2）用t的代数式表示BE的长？
（3）当t=

1

4

时，求直线DE的函数表达式．

Answer 1

分析：（1）如果点D看作是点A关于直线OE对称的对称点，那么根据轴对称的性质得出OD=OA=1，而在直角△OCD中，OC=1，与直角三角形中斜边最长相矛盾，故点D不能看作是点A关于直线OE对称的对称点；
（2）根据两角对应相等，两三角形相似，证明出△OCD∽△DBE，由相似三角形的对应边成比例列出比例式，从而可用含t的代数式表示BE的长；
（3）把t=

1

4

代入（2），求出BE的长，即可求得点E的坐标为（1，

13

16

），又由点D的坐标为（

1

4

，1），由待定系数法即可求得直线DE的解析式．

解答：解：（1）点D在运动到某一位置时，不能看作是点A关于直线OE对称的对称点．理由如下：
假设点D是点A关于直线OE对称的对称点，那么△ODE≌△OAE，
∴OD=OA=1，
而在直角△OCD中，OC=1，
∴OC=OD，
又∵动点D在线段BC上移动，不与C重合，
∴这与直角三角形中斜边最长相矛盾，
故点D不能看作是点A关于直线OE对称的对称点；

（2）如图，∵四边形OABC是正方形，且DE⊥OD，
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3．
又∵∠OCD=∠B=90°，
∴△OCD∽△DBE，
∴

CD

BE

=

CO

BD

．
又∵CD=t，CO=1，BD=BC-CD=1-t，
∴

t

BE

=

1

1-t

，
∴BE=-t²+t；

（3）当t=

1

4

时，BE=-t²+t=

3

16

，
∴AE=AB-BE=1-

3

16

=

13

16

，
∴点E的坐标为（1，

13

16

）．
设直线DE的解析式为y=kx+b，
又∵点D的坐标为（

1

4

，1），
∴

k+b= 13 16 1 4 k+b=1

，
解得

k=- 1 4 b= 17 16

直线DE的解析式为y=-

1

4

x+

17

16

．

点评：本题考查了正方形、轴对称的性质，一次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质等知识点．本题中用相似三角形的性质得出比例关系，然后用线段的比例关系和CD表示出BE是解题的关键．