【题目】已知:二次函数y=(n﹣1)x2+2mx+1图象的顶点在x轴上.
(1)请写出m与n的关系式,并判断已知中函数图象的开口方向;
(2)是否存在整数m,n的值,使函数图象的对称轴与x轴的交点横坐标为整数?若存在,请求出m,n的值;若不存在,请说明理由;
(3)若y关于x的函数关系式为y=nx2﹣m2x﹣2n﹣2
①当n≠0时,求该函数必过的定点坐标;
②探索这个函数图象与坐标轴有两个交点时n的值.
【答案】(1)n=m2+1,图象开口向上;(2)存在m=±1,n=2,符合要求,理由见解析;(3)①必过的定点为(2,0),(﹣1,﹣3),过程见解析;②当n=0或﹣1或时,函数图象与坐标轴有两个交点.
【解析】
(1)根据二次函数的顶点在x轴上,可知b2-4ac=0,代入求值即可,(2)求出对称轴为x,根据分式性质,求整数即可,(3)①因式分解原式得n(x2﹣x﹣2)+x﹣2,当函数过定点时,即n不在影响函数,令x2﹣x﹣2=0,求解即可, ②分类讨论即可见详解.
解:(1)∵二次函数y=(n﹣1)x2+2mx+1图象的顶点在x轴上,
∴4m2﹣4(n﹣1)=0,
∴n﹣1=m2 ,
∴n=m2+1,
∵n﹣1≠0,且m2≥0
∴n﹣1>0,
∴图象开口向上;
(2)∵y=(n﹣1)x2+2mx+1,
∴对称轴x=,
要使为整数,
∵m,n为整数,
∴只要m=±1,此时n=2,
∴存在m=±1,n=2,符合要求;
(3)①y=nx2﹣(n﹣1)x﹣2n﹣2=n(x2﹣x﹣2)+x﹣2,
令x2﹣x﹣2=0,得x=﹣1或2,所以必过的定点为(2,0),(﹣1,﹣3),
②若n=0,则y=x﹣2,直线与坐标轴有两个交点,
若n≠0:b2﹣4ac=(n﹣1)2+4n(2n+2)=(3n+1)2≥0,
当抛物线过原点时,n=﹣1,此时图象与坐标轴有两个交点,
当抛物线不过原点时,n=时,b2﹣4ac=0,图象与x轴,y轴各有1个交点,
综上,当n=0或﹣1或时,函数图象与坐标轴有两个交点.
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【题目】如图,正方形ABCD的两边BC,AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上,正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形,已知AC=3,若点A′的坐标为(1,2),则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,AB是⊙D的直径,AD切⊙D于点A,EC=CB.则下列结论:①BA⊥DA;②OC∥AE;③∠COE=2∠CAE;④OD⊥AC.一定正确的个数有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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【题目】周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE,使得点E与点C、A共线.
已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息,求河宽AB.
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【题目】下列命题错误的是( )
A. 如果y与x成反比例关系,那么x也与y成反比例关系
B. 如果y与z成反比例关系,z与x成正比例关系,且x≠0,那么y与x成反比例关系
C. 如果y与z成正比例关系,z与x成反比例关系,且x≠0,那么y与x成反比例关系
D. 如果y与z成反比例关系,z与x成反比例关系,那么y与x成反比例关系
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【题目】绿色生态农场生产并销售某种有机产品,假设生产出的产品能全部售出.如图,线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1(元)、生产成本y2(元)与产量x(kg)之间的函数关系.
(1)求该产品销售价y1(元)与产量x(kg)之间的函数关系式;
(2)直接写出生产成本y2(元)与产量x(kg)之间的函数关系式;
(3)当产量为多少时,这种产品获得的利润最大?最大利润为多少?
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【题目】如图,已知抛物线y=x2+px+q的对称轴为直线x=﹣2,过其顶点M的一条直线y=kx+b与该抛物线的另一个交点为N(﹣1,﹣1).若要在y轴上找一点P,使得PM+PN最小,则点P的坐标为( ).
A. (0,﹣2) B. (0,﹣) C. (0,﹣) D. (0,﹣)
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【题目】如图,已知⊙O的直径为10,点A、B、C在⊙O上,∠CAB的平分线交⊙O于点D.
(1)图①,当BC为⊙O的直径时,求BD的长;
(2)图②,当BD=5时,求∠CDB的度数.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=150°,AC=4,tanB=.
(1)求BC的长;
(2)利用此图形求tan15°的值(精确到0.1,参考数据:≈1.4,≈1.7,≈2.2).
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