Question

如图，二次函数y=-

1

4

x2+bx+c的图象经过点A（4，0），B（-4，-4），且与y轴交于点C．
（1）试求此二次函数的解析式；
（2）试证明：∠BAO=∠CAO（其中O是原点）；
（3）若P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过P作y轴的平行线，分别交此二次函数图象及x轴于Q、H两点，试问：是否存在这样的点P，使PH=2QH？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将A、B两点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．
（2）本题可先根据抛物线的解析式求出C点的坐标，然后根据这三点的坐标，求出∠CAO和∠BAO的正切值，以此来证明这两角相等．
（3）可先根据直线AB的解析式设出P点的坐标，由于PH⊥x轴，因此P、Q两点的横坐标相等，可根据抛物线的解析式求出Q点的纵坐标，根据PH=2QH，即P的纵坐标的绝对值是Q的纵坐标绝对值的2倍，由此可求出P、Q的横坐标，进而可求出P点的坐标．

解答：解：（1）∵点A（4，0）与B（-4，-4）在二次函数图象上，
∴

0=-4+4b+c -4=-4-4b+c

解得

b= 1 2 c=2

∴二次函数解析式为y=-

1

4

x²+

1

2

x+2．

（2）过B作BD⊥x轴于点D，由（1）得C（0，2），
则在Rt△AOC中，tan∠CAO=

CO

AO

=

2

4

=

1

2

，
又在Rt△ABD中，tan∠BAD=

BD

AD

=

4

8

=

1

2

；
∵tan∠CAO=tan∠BAD，
∴∠CAO=∠BAO．

（3）由点A（4，0）与B（-4，-4），可得直线AB的解析式为y=

1

2

x-2，
设P（x，

1

2

x-2），（-4＜x＜4）；
则Q（x，-

1

4

x²+

1

2

x+2），
∴PH=|

1

2

x-2|=2-

1

2

x，QH=|-

1

4

x²+

1

2

x+2|．
∴2-

1

2

x=2|-

1

4

x²+

1

2

x+2|．
当2-

1

2

x=-

1

2

x²+x+4，
解得x₁=-1，x₂=4（舍去），
∴P（-1，-

5

2

）
当2-

1

2

x=

1

2

x²-x-4，
解得x₁=-3，x₂=4（舍去），
∴P（-3，-

7

2

）．
综上所述，存在满足条件的点，它们是P₁（-1，-

5

2

）与P₂（-3，-

7

2

）．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．