Question

如图，Rt△OAB的斜边OA在x轴的正半轴上，直角的顶点B在第一象限内，已知点A（10，0），△OAB的面积为20．
（1）求B点的坐标；
（2）求过O、B、A三点抛物线的解析式；
（3）判断该抛物线的顶点P与△OAB的外接圆的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）过B作BC⊥OA于C，根据三角形OAB的面积可求出BC=4，然后可设OC=x，根据射影定理可得出BC²=OC•AC，据此可求出x的值，即可得出B点坐标；
（2）已知了三点的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）根据抛物线和圆的对称性可知，P和三角形OAB的外心必在抛物线的对称轴上，因此本题只需判断P点的纵坐标的绝对值与OA的一半的大小关系，如果|y_P|大于5，则顶点P在圆外，如果|y_P|小于5，则在园内，如果等于5，则在圆上．

解答：解：（1）过B作BC⊥OA于C，
∵S_△OAB=

1

2

OA•BC=20，OA=10，
∴BC=4
在直角三角形ABO中，BC⊥OA，
设OC=x，根据射影定理有：
BC²=OC•AC，即16=x（10-x），解得x=2，x=8
因此B（2，4）；

（2）设抛物线的解析式为y=ax（x-10），
已知抛物线过B（2，4），有：
a×2×（2-10）=4，a=-

1

4

∴所求的抛物线解析式为：y=-

1

4

x²+

5

2

x；

（3）由（2）可知：y=-

1

4

（x-5）²+

25

4

因此P（5，

25

4

）
∵

25

4

＞5
∴顶点P在外接圆外．

点评：本题主要考查了二次函数、圆、直角三角形的相关知识．