Question

如图，已知抛物线F₁：y=x²-2x+2，的顶点为P，与y轴的交点为A，与直线OP交于另一点B，将抛物线F₁向右平移个单位，再向下平移个单位得抛物线F₂，抛物线F₂与x轴相交于D、C两点（D在C的左边）．
（1）求直线OP及抛物线F₂的函数关系式；
（2）连接AC，探究OB与AC的关系，并说明理由；
（3）在直线OB上是否存在点Q，使△DCQ的周长最小？若存在，求Q点的坐标和△DCQ周长的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）化成顶点式，即可求出P的坐标，根据平移性质求出F₂的顶点坐标，即可得出抛物线的解析式；
（2）设B（a，b），得出a=b，代入y=x²-2x+2求出B的坐标，解方程x²-3x+2=0求出C的坐标，根据坐标得出正方形OCBA，根据正方形性质求出即可；
（3）作D关于OP的对称点D′，求出D′的坐标，连接D′C交OP于Q，则Q为所求，求出直线CD′的解析式，求出直线CD′和直线OP的交点坐标，即可得出Q的坐标，根据勾股定理求出CD′的长，即可求出三角形的周长．
解答：（1）解：∵F₁：y=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴P（1，1），
设直线OP的解析式为y=kx，
∴1=1×k，
即k=1，
∴直线OP的解析式为：y=x，
∵F₁的顶点坐标为P（1，1），
∴F₂的顶点坐标为（），
∴F₂的解析式为：y=-，
即为：y=x²-3x+2，
答：直线OP的解析式是y=x，抛物线F₂的函数关系式是y=-．
 
（2）解：设B（a，b），
∵直线OP：y=x与x轴的夹角是45°，
∴a=b，
∵B在抛物线y=x²-2x+2上，
∴a=a²-2a+2，解得：a₁=2，a₂=1（舍去），
∴B（2，2），
又∵解方程x²-3x+2=0得：x₁=1，x₂=2，
∴D（1，0），C（2，0），
∵A（0，2），
∴OA=AB=BC=OC=2，
∵∠AOC=90°，
∴四边形OCBA为正方形，
∴OB=AC，OB⊥AC，OB与AC互相平分．

（3）解：作D点关于直线OP的对称点D′，连接D′C交OP于Q，
则Q为所求的点，
∵OP平分∠AOC，
∴D′的坐标是（0，1），
∴DD′=，
设直线CD′的解析式是y=kx+1，
把C（2，0）代入得：k=-，
∴y=-x+1，
∵直线OP的解析式是y=x，代入得：x=-x+1，
x=，
即Q的坐标是（，），
∵D、D′关于直线OP对称，
∴DQ=D′Q，
∴DQ+CQ=D′Q+CQ=CD′===，
∴△DCQ的周长的最小值是DQ+CQ+CD=+（2-1）=+1．
点评：本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质和判定，勾股定理，解二元一次方程组，解一元二次方程，二次函数的三种形式等知识点的应用，主要考查学生综合运用这些性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．