Question

如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2m，拱高CD为2.4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）现有一艘宽3m、船舱顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？

Answer 1

解：（1）如图，连接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB=7.2m，
∴BD=AB=3.6m．
又∵CD=2.4m，
设OB=OC=ON=r，则OD=（r-2.4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r²=（r-2.4）²+3.6²，
解得r=3.9．

（2）∵CD=2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面AB=2m，
∴CE=2.4-2=0.4（m），
∴OE=r-CE=3.9-0.4=3.5（m），
在Rt△OEN中，EN²=ON²-OE²=3.9²-3.5²=2.96（m²），
∴EN=（m）．
∴MN=2EN=2×≈3.44m＞3m．
∴此货船能顺利通过这座拱桥．
分析：（1）根据垂径定理和勾股定理求解；
（2）连接ON，OB，通过求距离水面2米高处即ED长为2时，桥有多宽即MN的长与货船顶部的3米做比较来判定货船能否通过（MN大于3则能通过，MN小于等于3则不能通过）．先根据半弦，半径和弦心距构造直角三角形求出半径的长，再根据Rt△OEN中勾股定理求出EN的长，从而求得MN的长．
点评：此题考查了垂径定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．