Question

已知关于x的一元二次方程 .（其中m为实数）
（1）若此方程的一个非零实数根为k，
① 当k = m时，求m的值；
② 若记为y，求y与m的关系式；
（2）当＜m＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由

Answer 1

（1）
①1
②
（2）当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根

解：（1）∵ k为的实数根，
∴ .※ …………………………………………1分
① 当k = m时，
∵ k为非零实数根，
∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m，得.
整理，得 .
解得 ，. ………………………………………………………2分
∵ 是关于x的一元二次方程，
∴ m ≠ 2.
∴ m=" 1." ……………………………………………………………………3分
（阅卷说明：写对m= 1，但多出其他错误答案扣1分）
② ∵ k为原方程的非零实数根，
∴ 将方程※两边都除以k，得.…………………4分
整理，得 .
∴ .……………………………………………5分
（2）解法一： .………6分
当＜m＜2时，m＞0，＜0.
∴ ＞0，＞1＞0，Δ＞0.
∴ 当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7分
解法二：直接分析＜m＜2时，函数的图象，
∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y轴正半轴相交，
∴ 该抛物线必与x轴有两个不同交点. …………………………6分
∴ 当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7分
解法三：.…………6分
结合关于m的图象可知，（如图6）

当＜m≤1时，＜≤4；
当1＜m＜2时，1＜＜4.
∴ 当＜m＜2时，＞0.
∴ 当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根.…7分