Question

17．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将△ADC沿AC折叠，点D落在点D′处，CD′与AB交于点F．
（1）求线段AF的长．
（2）求△AFC的面积．
（3）点P为线段AC（不含点A、C）上任意一点，PM⊥AB于点M，PN⊥CD′于点N，试求PM+PN的值．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质和翻折变换的性质得到AF=CF，设AF=x，根据勾股定理列出方程，解方程即可求出AF；
（2）根据三角形面积公式计算即可；
（3）连接PF，根据三角形的面积公式解答即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵矩形沿AC折叠，点D落在点E处，
∴△ACD≌△ACE，
∴∠DCA=∠ECA，
∴∠BAC=∠ECA，
∴AF=CF，
设AF=CF=x，则BF=8-x，
在Rt△BCF中，根据勾股定理得：BC²+BF²=CF²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
∴AF=5；
（2）S_△ACF=$\frac{1}{2}$AF•BC=$\frac{1}{2}$×5×4=10；
（3）连接PF，
$\frac{1}{2}$×AF×PM+$\frac{1}{2}$×CF×PN=S_△ACF=10，
∴PM+PN=4．

点评 本题考查的是翻折变换的性质，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．