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12.如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,点E在边BC的延长线上,且OE=OB,EG⊥BD,垂足为为G,连接DE.
(1)求证:DE⊥BE;
(2)如果OE⊥CD,求证:BD•EF=CD•EG.

分析 (1)由平行四边形的性质得到BO=$\frac{1}{2}$BD,由等量代换推出OE=$\frac{1}{2}$BD,根据平行四边形的判定即可得到结论;
(2)根据等角的余角相等,得到∠CEO=∠CDE,推出△BDE∽△CDE,根据△CFE∽△DGE,得到$\frac{EG}{EF}$=$\frac{DE}{CE}$,等量代换得到$\frac{BD}{CD}$=$\frac{DE}{CE}$,即可得到结论.

解答 证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BO=OD,
∵OE=OB,
∴OE=OD,
∴∠OBE=∠OEB,∠OED=∠ODE,
∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE=180°,
∴∠BEO+∠DEO=∠BED=90°,
∴DE⊥BE;

(2)∵OE⊥CD,
∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°,
∴∠CEO=∠CDE,
∵OB=OE,
∴∠DBE=∠CDE,
∵∠BED=∠BED,
∴△BDE∽△DCE,
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{DE}{CE}$,∠BDE=∠DCE,
∵∠DGE=∠CFE,
∴△CFE∽△DGE,
∴$\frac{EG}{EF}$=$\frac{DE}{CE}$,
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{DE}{CE}$,
∴BD•EF=CD•EG.

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质,直角三角形的判定和性质,平行四边形的性质,熟记定理是解题的关键.

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