Question

正方形ABCD与正方形CEFG的位置如图所示，点G在线段CD或CD的延长线上，分别连接BD、BF、FD，得到△BFD．
（1）在图1-图3中，若正方形CEFG的边长分别为1、3、4，且正方形ABCD的边长均为3，请通过计算填写下表：

正方形CEFG的边长	1	3	4
△BFD的面积

（2）若正方形CEFG的边长为a，正方形ABCD的边长为b，猜想S_△BFD的大小，并结合图3证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）①图中，利用S_△BDF=S_△BCD+S_梯形EFDC-S_△BFE，即可求出△BDF的面积；②直接利用S_△BDF=

1

2

DF×AB，可求出△BDF的面积；③利用S_△BDF=S_△BCD+S_梯形EFDC-S_△BFE，可求出△BDF的面积；
（2）S_△BDF=

1

2

b²，可利用S_△BDF=S_△BCD+S_梯形EFDC-S_△BFE，把a、b代入，化简即可求出△BDF的面积．

解答：解：（1）如表格．（3分）

正方形CEFG的边长	1	3	4
△BFD的面积	9 2	9 2	9 2

（2）猜想：S△BFD=

1

2

b2，
证明：
证法1：如图，S_△BFD=S_△BCD+S_梯形CEFD-S_△BEF=

1

2

b²+

1

2

（a+b）×a-

1

2

（a+b）×a=

1

2

b²；
证法2：如图③，连接CF，由正方形性质可知∠DBC=∠FCE=45°，
∴BD∥CF，
∴△BFD与△BCD的BD边上的高相等，
∴S_△BFD=S_△BCD+S_梯形CEFD-S_△BEF=

1

2

b²．

点评：本题利用了面积分割法、正方形的性质、以及同底等高的三角形的面积相等等知识．