【题目】如图,已知直线与轴,轴分别交于,两点,以为直角顶点在第二象限作等腰.
(1)求点的坐标,并求出直线的关系式;
(2)如图,直线交轴于,在直线上取一点,连接,若,求证:.
(3)如图,在(1)的条件下,直线交轴于点,是线段上一点,在轴上是否存在一点,使面积等于面积的一半?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x+4;(2)见解析;(3)存在,点N(﹣,0)或(,0).
【解析】
(1)根据题意证明△CHB≌△BOA(AAS),即可求解;
(2)求出B、E、D的坐标分别为(-1,0)、(0,)、(1,-1),即可求解;
(3)求出BC表达式,将点P代入,求出a值,再根据AC表达式求出M点坐标,由S△BMC=MB×yC=×10×2=10,S△BPN=S△BCM=5= NB×a=可求解.
解:(1)令x=0,则y=4,令y=0,则x=﹣2,
则点A、B的坐标分别为:(0,4)、(﹣2,0),
过点C作CH⊥x轴于点H,
∵∠HCB+∠CBH=90°,∠CBH+∠ABO=90°,
∴∠ABO=∠BCH,
∠CHB=∠BOA=90°,BC=BA,
在△CHB和△BOA中,
,
∴△CHB≌△BOA(AAS),
∴BH=OA=4,CH=OB=2,
∴ 点C(﹣6,2),
将点A、C的坐标代入一次函数表达式:y= m x+ b得:,
解得:,
故直线AC的表达式为:y=x+4;
(2)同理可得直线CD的表达式为:y=﹣x﹣1①,则点E(0,﹣1),
直线AD的表达式为:y=﹣3x+4②,
联立①②并解得:x=2,即点D(2,﹣2),
点B、E、D的坐标分别为(﹣
故点E是BD的中点,即BE=DE;
(3)将点BC的坐标代入一次函数表达式并解得:
直线BC的表达式为:y=﹣x-1,
将点P(﹣,a)代入直线BC的表达式得:,
直线AC的表达式为:y=x+4,
令y=0,则x=-12,则点M(﹣12,0),
S△BMC=MB×y C=×10×2=10,
S△BPN=S△BCM=5=NB×a=,
解得:NB=,
故点N(﹣,0)或(,0).
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【题目】如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D.
(1)求出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴;
(2)连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点,过点P作PF∥DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m;
①用含m的代数式表示线段PF的长,并求出当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形?
②设△BCF的面积为S,求S与m的函数关系式,S是否有最大值?如有,请求出最大值,没有请说明理由.
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【题目】如图,平面直角坐标系中,点A在第四象限,点B在x轴正半轴上,在△OAB中,∠OAB=90°,AB=AO=6,点P为线段OA上一动点(点P不与点A和点O重合),过点P作OA的垂线交x轴于点C,以点C为正方形的一个顶点作正方形CDEF,使得点D在线段CB上,点E在线段AB上.
(1)①求直线AB的函数表达式.
②直接写出直线AO的函数表达式 ;
(2)连接PF,在Rt△CPF中,∠CFP=90°时,请直接写出点P的坐标为 ;
(3)在(2)的前提下,直线DP交y轴于点H,交CF于点K,在直线OA上存在点Q.使得△OHQ的面积与△PKE的面积相等,请直接写出点Q的坐标 .
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【题目】一列动车从甲地开往乙地, 一列普通列车从乙地开往甲地,两车均匀速行驶并同时出发,设普通列车行驶的时间为 (小时),两车之间的距离为 (千米),如图中的折线表示与之间的函数关系,下列说法:①动车的速度是千米/小时;②点B的实际意义是两车出发后小时相遇;③甲、乙两地相距千米;④普通列车从乙地到达甲地时间是小时,其中不正确的有( )
A.个B.个C.个D.个
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【题目】近年来,共享单车服务的推出(如图1),极大的方便了城市公民绿色出行,图2是某品牌某型号单车的车架新投放时的示意图(车轮半径约为30cm),其中BC∥直线l,∠BCE=71°,CE=54cm.
(1)求单车车座E到地面的高度;(结果精确到1cm)
(2)根据经验,当车座E到CB的距离调整至等于人体胯高(腿长)的0.85时,坐骑比较舒适.小明的胯高为70cm,现将车座E调整至座椅舒适高度位置E′,求EE′的长.(结果精确到0.1cm)
(参考数据:sin71°≈0.95,cos71°≈0.33,tan71°≈2.90)
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【题目】如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点M是AB上的一点,点N是CB上的一点.
(1)若3BM=4CN.
①如图1,当CN=时,判断MN与AC的位置关系,并说明理由;
②如图2,连接AN,CM,当∠CAN与△CMB中的一个角相等时,求BM的值.
(2)当MN⊥AB时,将△NMB沿直线MN翻折得到△NMF,点B落在射线BA上的F处,设MB=x,△NMF与△ABC重叠部分的面积为y,求y关于x的函数表达式及x的取值范围.
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【题目】几何模型:
条件:如图1,A、B是直线同旁的两个定点.
问题:在直线上确定一点P,使PA+PB的值最小.
方法:作点A关于直线的对称点A′,连接A′B交于点P,则PA+PB=A′B的值最小(不必证明).
模型应用:
(1)如图2,已知平面直角坐标系中两定点A(0,-1),B(2,-1),P为x轴上一动点, 则当PA+PB的值最小时,点P的横坐标是______,此时PA+PB的最小值是______;
(2)如图3,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点.由正方形对称性可知,B与D关于直线AC对称,连接BD,则PB+PE的最小值是______;
(3)如图4,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一动点P,则PD+PE的最小值为 ;
(4)如图5,在菱形ABCD中,AB=8,∠B=60°,点G是边CD边的中点,点E、F分别是AG、AD上的两个动点,则EF+ED的最小值是_______________.
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【题目】如图所示,已知平行四边形ABCD,对角线AC,BD相交于点O,∠OBC=∠OCB.
(1)求证:平行四边形ABCD是矩形;
(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形.
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【题目】某校在一次社会实践活动中,组织学生参观了虎园、烈士陵园、博物馆和植物园,为了解本次社会实践活动的效果,学校随机抽取了部分学生,对“最喜欢的景点”进行了问卷调查,并根据统计结果绘制了如下不完整的统计图.其中最喜欢烈士陵园的学生人数与最喜欢博物馆的学生人数之比为2:1,请结合统计图解答下列问题:
(1)本次活动抽查了 名学生;
(2)请补全条形统计图;
(3)在扇形统计图中,最喜欢植物园的学生人数所对应扇形的圆心角是 度;
(4)该校此次参加社会实践活动的学生有720人,请求出最喜欢烈士陵园的人数约有多少人?
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