Question

4．在平面直角坐标系中，己知正方形ABCD的顶点A的坐标为（0，-1），点B的坐标为（4，-1），顶点C在第一象限内，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c（b、c常数）的顶点P为正方形对角线AC上一动点．
（1）当抛物线经过A、B两点时，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与直线AC相交于另一点Q（Q非抛物线顶点，且Q在第一象限内），求证；PQ长是定值；
（3）根据（2）的结论，取BC的中点N，求NP+BQ的最小值．

Answer 1

分析 （1）把A点和B点坐标代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可；
（2）先利用正方形性质得到C（4，3），再利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x-1，再求出顶点P的坐标为（b，c+$\frac{1}{2}$b²），然后把P（b，c+$\frac{1}{2}$b²）代入y=x-1得到b²-2b=-2c-2，设P（x₁，x₁-1），Q（x₂，x₂-1），则x₁、x₂为-$\frac{1}{2}$x²+bx+c=x-1的两根，利用根与系数的关系得到x₁+x₂=2（b-1），x₁x₂=-2-2c，然后利用两点间的距离公式计算PQ²=2（x₁-x₂）²=2[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=2[4（b-1）²-4（-2-2c）]=8（b²-2b+1+2+2c）=8，从而判定PQ长是定值；
（3）取AB的中点E，连接EN，DE，DE交AC于Q，如图，则EN=2$\sqrt{2}$，EN∥AC，则过N点作DE的平行线交AC于P，利用四边形QENP为平行四边形得到PN=QE，所以PN+QB=QE+DQ=DE，利用两点之间线段最短判断此时PN+QB的值最小，利用勾股定理可计算出它的最小值．

解答 （1）解：把A（0，-1），B（4，-1）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=-1}\\{-8+4b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{9}{4}}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{9}{4}$x-1；
（2）证明：∵四边形ABCD为正方形，
而AB=4，
∴C（4，3），
设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A（0，-1），C（4，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=-1}\\{4m+n=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-1}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=x-1，
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c=-$\frac{1}{2}$（x-b）²+c+$\frac{1}{2}$b²，
∴顶点P的坐标为（b，c+$\frac{1}{2}$b²），
把P（b，c+$\frac{1}{2}$b²）代入y=x-1得P的坐标c+$\frac{1}{2}$b²=b-1，即b²-2b=-2c-2，
设P（x₁，x₁-1），Q（x₂，x₂-1），
则x₁、x₂为-$\frac{1}{2}$x²+bx+c=x-1的两根，
整理为x²-2（b-1）x-2-2c=0，
∴x₁+x₂=2（b-1），x₁x₂=-2-2c，
∴PQ²=（x₁-x₂）²+（x₁-x₂）²=2（x₁-x₂）²=2[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=2[4（b-1）²-4（-2-2c）]=8（b²-2b+1+2+2c）=8（-2-2c+1+2+2c）=8，
∴PQ=2$\sqrt{2}$，
即PQ长是定值；
（3）取AB的中点E，连接EN，DE，DE交AC于Q，如图，
∵BE=2，BN=2，
∴EN=2$\sqrt{2}$，
∵EN∥AC，
∴过N点作DE的平行线交AC于P，
∴四边形QENP为平行四边形，
∴PN=QE，
∵点B与点D关于AC对称，
∴QB=QD，
∴PN+QB=QE+DQ=DE，
此时PN+QB的值最小，最小值为$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和旋转的性质；会运用待定系数法求函数解析式；能应用两点之间线段最短解决路径最短问题；会运用勾股定理和两点间的距离公式计算线段的长．