Question

如图：已知点C在圆O上，P是圆O外一点；割线PO交圆O于点B、A，已知AC=PC，∠COB=2∠PCB，且PB=2；
（1）求证：PC是圆O的切线；
（2）求tan∠P；
（3）M是圆O的下半圆弧上的一动点，当M点运动到使△ABM的面积最大时，过CM的直线交AB于点N，求MN，MC的值．

Answer 1

（1）证明：∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠PCB=∠A．
∵OC=OA，
∴∠A=∠OCA．
∴∠PCB=∠OCA．
∵AB是直径，
∴∠OCA+∠BCO=90°．
∴∠PCB+∠BCO=90°．
∴∠OCP=90°．
∴PC是圆O的切线．

（2）解：∵AC=PC，
∴∠P=∠A．
设∠A=x°，则∠PCB=∠P=∠OCA=x°，
∴∠COB=2∠PCB=2x°，∠CBO=∠P+∠PCB=2x°．
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=2x°．
∴x=30°，tan∠P=．

（3）解：在Rt△OCP中，
∵∠OPC=30°，
∴OP=2OC．
∵PB=2，
∴OC=OB=2．
∴OP=4，PC=2．
过O作OM⊥AB于O，则△ABM的面积最大．
∵∠COM=150°，OC=OM，
∴∠M=∠OCM=15°．
∴∠PNC=75°，
∴∠PCN=∠OCP-∠OCM=75°．
∴PN=PC=2．
∴ON=2+4．
∵OM=2，
∴MN=2+2．
又∵NB•NA=NC•NM，
∴NC=+3．
∴MC=MN-NC=-．
∴MN=2+2，MC=-．
分析：（1）根据切线的判定定理，证明∠OCP=90°即可；
（2）根据条件容易求出∠P=30°；
（3）因为AB是定值，所以当OM⊥AB时，AB边上的高最大，则△ABM的面积最大，则M点的位置确定，N的位置也随之确定，又OM的值已求，ON的值易求，从而可根据勾股定理在Rt△OMN中求出MN的值，再由割线定理求出NC，然后根据MC=MN-NC求出MC的值．
点评：本题考查切线的判定，三角函数，切割线定理，勾股定理的综合运用．