【题目】阅读下列材料,解决材料后的问题:
材料一:对于实数x、y,我们将x与y的“友好数”用f(x,y)表示,定义为:f(x)=,例如17与16的友好数为f(17,16)==.
材料二:对于实数x,用[x]表示不超过实数x的最大整数,即满足条件[x]≤x<[x]+1,例如:
[﹣1.5]=[﹣1.6]=﹣2,[0]=[0.7]=0,[2.2]=[2.7]=2,……
(1)由材料一知:x2+2与1的“友好数”可以用f(x2+2,1)表示,已知f(x2+2,1)=2,请求出x的值;
(2)已知[a﹣1]=﹣3,请求出实数a的取值范围;
(3)已知实数x、m满足条件x﹣2[x]=,且m≥2x+,请求f(x,m2﹣m)的最小值.
【答案】(1)x=±2;(2)﹣4≤a<﹣2;(3)当m=时,y有最大值是﹣,此时f(x,m2﹣m)有最小值,最小值是﹣.
【解析】
(1)由题意得到,计算即可得到答案;
(2)由题意得到,解不等式即可得到答案;
(3)先由题意得到,则,设,由题意得到,设y=﹣2m2+3m﹣4,根据二次函数的性质即可得到答案.
解:(1)∵f(x2+2,1)=2,
∴,
∴x2=4,
∴x=±2;
(2)∵[x]≤x<[x]+1,
∴,
解得﹣4≤a<﹣2;
(3)∵x﹣2[x]=,
∴[x]=,
∴,
∴,
设,
又x=2k+,
∴,
∴整数k=﹣3,
∴x=,
又,
∴f(x,m2﹣m),
=,
=,
=,
设y=﹣2m2+3m﹣4,
则y=﹣2(m)2,
∵﹣2<0,
∴当m=时,y有最大值是,此时f(x,m2﹣m)有最小值,最小值是=﹣,
此时最小值为﹣.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)过点(-1,0)和点(0,-2),且顶点在第四象限,设P=a+b+c,则P的取值范是( )
A.-2<P<-1B.-2<P<0C.-4<P<0D.-4<P<-2
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【题目】如图,菱形ABCD中,∠ABC=135°,DH⊥AB于H,交对角线AC于E,过E作EF⊥AD于F.若△DEF的周长为2,则菱形ABCD的面积为( )
A.2B.C.D.2
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【题目】如图,A、D、B、E四点在同一条直线上,AD=BE,BC∥EF,BC=EF.
(1)求证:AC=DF;
(2)若CD为∠ACB的平分线,∠A=25°,∠E=71°,求∠CDF的度数.
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【题目】某超市销售一种商品,成本价为20元/千克,经市场调查,每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的关系如图所示,规定每千克售价不能低于30元,且不高于80元.
(1)求y与x之间的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围.
(2)每天销售量为135千克时,销售单价为 元/千克.
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【题目】用适当的方法解下列方程
(1)x2+10x+21=0
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)3x(x+2)=5(x+2)
(7)(3x-2)2=(x+5)2
(8)5x(x-3)-(x-3)(x+1)=0
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【题目】如图,在Rt△ABC中,,AD平分∠BAC,交BC于点D,点O在AB上,⊙O经过A、D两点,交AC于点E,交AB于点F.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径是2cm,E是弧AD的中点,求阴影部分的面积(结果保留π和根号)
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【题目】如图所示,在正方形网格上有6个三角形:①△ABC;②△BCD;③△BDE;④△BFG;⑤△FGH;⑥△EFK.其中②~⑥中与①相似的是( )
A. ②③④ B. ③④⑤ C. ④⑤⑥ D. ②③⑥
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