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    （2006•柳州）如图，抛物线y=-x2+2mx+m+2的图象与x轴交于A（-1，0），B两点，在x轴上方且平行于x轴的直线EF与抛物线交于E，F两点，E在F的左侧，过E，F分别作x轴的垂线，垂足是M，N．
    （1）求m的值及抛物线的顶点坐标；
    （2）设BN=t，矩形EMNF的周长为C，求C与t的函数表达式；
    （3）当矩形EMNF的周长为10时，将△ENM沿EN翻折，点M落在坐标平面内的点记为M'，试判断点M'是否在抛物线上？并说明理由．

    【答案】分析：（1）因为抛物线上的点的坐标符合解析式，将A的坐标代入解析式即可求得m的值，进而求出解析式，即可求得顶点坐标；
    （2）求出A、B两点坐标，可表示出MN的长，求出F点纵坐标，可知NF的长，利用矩形面积公式即可求出C与t的函数表达式；
    （3）根据反折变换的性质（反折前后图形全等），结合勾股定理，求出M’点坐标，代入二次函数解析式验证．
    解答：解：（1）由于抛物线过点A（-1，0），
    于是将A代入y=-x2+2mx+m+2
    得-1-2m+m+2=0，
    解得m=1，
    函数解析式为y=-x2+2x+3，
    解析式可化为y=-（x-1）2+4，顶点纵坐标为（1，4）．

    （2）因为函数解析式为y=-x2+2x+3，
    所以当y=0时可得-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，
    则AB=3-（-1）=4．
    又因为BN=t，M、N关于对称轴对称，
    所以AM=t．于是MN=4-2t，
    N点横坐标为3-t，代入抛物线得：yF=-t2+4t．
    于是C=2（4-2t）-2（t-2）2+8，
    整理得C=-2t2+4t+8；

    （3）当-2t2+4t+8=10时，解得t=1，MN=4-2t=4-2=2；
    FN=-12+4=3，因为t=1，所以M与O点重合，连接MM'、EN，
    且MM'和E相交于K，根据反折变换的性质，MK=M'K．
    根据同一个三角形面积相等，2×3=•MK
    于是MK=，MM'=
    作M'H⊥MN的延长线于H．
    设NH=a，HM′=b，
    于是在Rt△NHM'和RT△MHM'中，，
    解得a=，b=．
    于是MH=2+=．
    M'点坐标为（，），
    代入函数解析式y=-x2+2x+3，y=-x2+2x+3=-（）2+2×+3=≠，点M'不在抛物线上．
    点评：此题考查了利用代入法求函数解析式、根据矩形的性质列函数表达式以及结合翻变换折判断点是否在函数图象上，有一定的难度．
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    （1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点M及点C的坐标；
    （2）若直线y=kx+d经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；
    （3）点P是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

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