Question

6．如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接AC，由题意得$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{CB}$，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，从而得出∠OCE=90°，即可证得结论；
（2）四边形AOCD为菱形．由$\widehat{AD}$=$\widehat{CB}$，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；

解答 解：（1）连接AC，
∵点CD是半圆O的三等分点，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{CB}$，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）
∴∠OCE+∠E=180°，
∵CE⊥AD，
∴∠OCE=90°，
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）四边形AOCD为菱形．
理由是：
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{CB}$，
∴∠DCA=∠CAB，
∴CD∥OA，
又∵AE∥OC，
∴四边形AOCD是平行四边形，
∵OA=OC，
∴平行四边形AOCD是菱形．

点评 本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质、菱形的判定和性质，是中学阶段的重点内容．