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在△ABC中,D是BC上的一点,∠DAC=∠B=60°,AD=
13
,AB=4,求AC的长度.
考点:正弦定理与余弦定理,相似三角形的判定与性质
专题:
分析:设BD=x,DC=y,易证△CAD∽△CBA,根据相似三角形的性质可得AC2=CD•CB=y(x+y).在△ABD中运用余弦定理可求出x的值,由于x的值有两个,故需分情况讨论,然后只需在△ABC中运用余弦定理就可求出y的值,从而求出AC的长度.
解答:解:设BD=x,DC=y,
∵∠DAC=∠B=60°,∠C=∠C,
∴△CAD∽△CBA,
CA
CB
=
CD
CA

∴AC2=CD•CB=y(x+y).
在△ABD中,
根据余弦定理可得:
AD2=AB2+BD2-2AB•BD•cos∠B.
∵AD=
13
,AB=4,BD=x,∠B=60°,
∴13=16+x2-2×4x×
1
2

整理得:x2-4x+3=0,
解得:x1=1,x2=3.
①当BD=x=1时,如图1,

此时AC2=CD•CB=y(1+y).
在△ABC中,
根据余弦定理可得:
AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠B.
∵AC2=y(1+y),AB=4,BC=1+y,∠B=60°,
∴y(1+y)=16+(1+y)2-2×4(1+y)×
1
2

解得:y=
13
3

∴AC2=
13
3
×(1+
13
3
)=
16×13
9

∴AC=
4
13
3

②当BD=x=3时,如图2,

此时AC2=CD•CB=y(3+y).
在△ABC中,
根据余弦定理可得:
AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠B.
∵AC2=y(3+y),AB=4,BC=3+y,∠B=60°,
∴y(3+y)=16+(3+y)2-2×4(3+y)×
1
2

解得:y=13,
∴AC2=13×(3+13)=16×13,
∴AC=4
13

综上所述:AC的长度为
4
13
3
或4
13
点评:本题主要考查了余弦定理、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、解一元一次方程等知识,运用余弦定理和相似三角形的性质是解决本题的关键.
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