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精英家教网如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的顶点A在以E(1,1)为圆心,2为半径的圆上,且该抛物线经过⊙E与x轴的两个交点B、C,AE⊥x轴.
(1)请写出点A、B、C三点的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上能否找到一点P,使线段PE与OA互相平分?如果能,写出P点坐标,如果不能,请说明理由.
分析:(1)根据B、C两点在⊙E上,在Rt△BEH与Rt△CEH中,得出EB=EC=2,EH=1,进而求出B,C的坐标;
(2)利用交点式求出二次函数解析式即可;
(3)根据若满足条件的点P存在,四边EAPO一定是平行四边形,也即一定有AE∥OP,OP=AE,由AE∥OP,可知点P在y轴上,又知P在抛物线y=-(x-1)2+3上,即可的求出.
解答:精英家教网解:(1)过A、E两点作直线AE交x轴于H,依题意AE⊥x轴,则点A的坐标为(1,3)
连接EB、EC,
∵B、C两点在⊙E上,在Rt△BEH与Rt△CEH中,
∵EB=EC=2,EH=1,
BH=CH=
3

OB=BH-OH=
3
-1
OC=OH+HC=1+
3

∴B(1-
3
, 0
),C(
3
+1, 0
);

(2)根据交点式,设抛物线的解析式为y=a(x-1+
3
)(x-1-
3
)

又∵点A(1,3)在抛物线上,
3=a(1-1+
3
)(1-1-
3
)

解得a=-1,
故抛物线的解析式为y=-(x-1)2+3,
即y=-x2+2x+2,

(3)满足条件的P点存在.
若满足条件的点P存在,四边EAPO一定是平行四边形,也即一定有AE∥OP,OP=AE,
由AE∥OP,可知点P在y轴上,又知P在抛物线y=-(x-1)2+3上,
可令x=0,得y=2,
∴P(0,2),
此时恰好OP=AE=2,
所以P(0,2)为所求.
点评:此题主要考查了直角三角形的性质以及交点式求二次函数解析式,以及平行四边形的性质,综合性强,能力要求极高.考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点精英家教网C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求直线BC的函数解析式;
(3)在抛物线上,是否存在一点P,使△PAB的面积等于△ABC的面积,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
(4)点Q是直线BC上的一个动点,若△QOB为等腰三角形,请写出此时点Q的坐标.(可直接写出结果)

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如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(-1,0)精英家教网、C(0,-3)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(2)在抛物线的对称轴x=1上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,并求出此时点M的坐标.

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(2013•衡阳)如图,已知抛物线经过A(1,0),B(0,3)两点,对称轴是x=-1.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)动点Q从点O出发,以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动,同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动,过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N,交抛物线于点P,设运动的时间为t秒.
①当t为何值时,四边形OMPQ为矩形;
②△AON能否为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,且抛物线经过A(-1,0)、C(0,-3)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(2)点P是抛物线对称轴上一点,若△PAB∽△OBC,求点P的坐标.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是(-1,-4),且与x轴交于A、B(1,0)两点,交y轴于点C;
(1)求此抛物线的解析式;
(2)①当x的取值范围满足条件
-2<x<0
-2<x<0
时,y<-3;
     ②若D(m,y1),E(2,y2)是抛物线上两点,且y1>y2,求实数m的取值范围;
(3)直线x=t平行于y轴,分别交线段AC于点M、交抛物线于点N,求线段MN的长度的最大值;
(4)若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时,正好也与y轴相切,求点P的坐标.

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