Question

4．已知，如图，P是边长为5的正方形ABCD内一点，AP=3，BP=4，将△ABP绕点B旋转后，使P点落在直线BC上，点A落在点A′上，则线段A′C的长度为$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 由勾股定理证得∠APB=90°，由旋转的性质得到△APB≌△A′P′B，进而求得P′C，由勾股定理即可求得结论．

解答 解：∵正方形ABCD的边长为5，
∴AB=BC=5，
∵3²+4²=5²，
∴AP²+BP²=AB²，
∴∠APB=90°，
由旋转的性质知AP=A′P′=3，BP=BP′=4，∠APB=A′P′B=90°，即∠A′P′C=90°，
∴P′C=BC-BP′=1，
∴A′C=$\sqrt{（A′P）^{2}+（P′C）^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
故答案为：$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查了图形的旋转，勾股定理，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．