Question

5．如图，将一条长度为1的线段三等分，然后取走其中的一份，称为第一次操作；再将余下的每一条线段三等分，然后取走其中一份，称为第二次操作；…如此重复操作，当第n次操作结束时，被取走的所有线段长度之和为1-$\frac{{2}^{n}}{{3}^{n}}$．

Answer 1

分析 易得第一次操作后余下的线段为1-$\frac{1}{3}$，进而得到每次操作后有几个1-$\frac{1}{3}$的积，即可得到第n次操作时，余下的所有线段的长度之和，进而求得被取走的所有线段长度之和．

解答 解：第一次操作后余下的线段之和为1-$\frac{1}{3}$，
第二次操作后余下的线段之和为（1-$\frac{1}{3}$）²，
…
第n次操作后余下的线段之和为（1-$\frac{1}{3}$）ⁿ=$\frac{{2}^{2}}{{3}^{n}}$，
则被取走的所有线段长度之和为1-$\frac{{2}^{n}}{{3}^{n}}$．
故答案是：1-$\frac{{2}^{n}}{{3}^{n}}$．

点评 本题考查图形的变化规律；得到第n次操作后有n个$\frac{2}{3}$是解决本题的关键．