Question

11．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax²-5ax+4与x轴从左到右依次交于点A、B，交y轴于点C，点D在抛物线上，CD∥x轴，AD交y轴于点E，AC=CD．
（1）如图1，求a的值；
（2）如图2，点F在CD上方的抛物线上，过点F作FG∥y轴，交线段AD于点G，交线段CD于点H，若FG=CE，求点F的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DF，点P在第一象限内的抛物线上，点Q在CD下方的平面内，DQ⊥CD，∠QCP=∠ADF，若PC=PQ，求点P、Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的对称轴公式可以求得对称轴，则CD的长度可以求得，求得抛物线与y轴的交点，则OC即可求得，然后在直角△AOC中利用勾股定理求得OA的长，从而求得A的坐标，代入函数解析式求得a的值；
（2）首先利用待定系数法求得直线AD的解析式，设出F的横坐标是t，则利用t可以表示出FG的长，根据FG=CE即可求得；
（3）过G作GT⊥DF于点T，过P作PM⊥CD于点M，过Q作QN⊥PM于点N，证明△CPM≌△PQN，则PM=QN=DM，设P的横坐标是m，利用m表示出CM和DM的长，根据PC=PQ列方程求解．

解答 解：（1）抛物线y=ax²-5ax+4的对称轴为直线x=-$\frac{-5a}{2a}$=$\frac{5}{2}$，
∵CD∥x轴，
∴CD=5，
∴AC=CD=5
∵抛物线y=ax²-5ax+4交y轴于点C，
∴C（0，4），
∴OC=4，
∴OA=3，
∴A（-3，0），
∴9a+15a+4=0，
∴a=-$\frac{1}{6}$；
（2）由（1）可知抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4．
∵A（-3，0），D（5，4）
∴直线AD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，
∴E（0，$\frac{3}{2}$），
∴CE=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴FG=CE=$\frac{5}{2}$，设F（t，-$\frac{1}{6}$t²+$\frac{5}{6}$t+4）
∴G（t，$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$），∴FG=-$\frac{1}{6}$t²+$\frac{5}{6}$t+4-（$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$）=$\frac{5}{2}$，
解得t=0（舍）或t=2，∴F（2，5）；
（3）过G作GT⊥DF于点T，过P作PM⊥CD于点M，过Q作QN⊥PM于点N
∵F（2，5），G（2，$\frac{5}{2}$），H（2，4），
∴FH=1，HG=$\frac{3}{2}$，DH=3
∴DF=$\sqrt{10}$，tan∠DFH=3，
∴GT=3ET
∵FG=$\frac{5}{2}$，
∴ET=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，TG=$\frac{3\sqrt{10}}{4}$，∴DT=$\frac{3\sqrt{10}}{4}$．
∴DT=TG，
∴∠ADF=45°，
∴∠PCQ=45°，
∵PC=PQ，
∴∠PQC=45°，∠CPQ=90°
∵∠CPM+∠QPN=90°，∠QPN+∠PQN=90°，
∴∠CPM=∠PQN
∵∠M=∠N=90°，
∴△CPM≌△PQN，
∴PM=QN=DM，设P（m，-$\frac{1}{6}$m²+$\frac{5}{6}$m+4）
∴CM=m，
∴DM=m-5，
∴PM=m-5，
∴-$\frac{1}{6}$m²+$\frac{5}{6}$m+4=4-（m-5），
解得m=5（舍）或m=6，
∴P（6，3）．
∴M的坐标是（6，4），
∴PM=4-3=1，
∴QN=MP=1，
∴PN=CM=6，
∴N的纵坐标是-（6-3）=-3，
则Q的坐标是（5，-3）．

点评 本题考查了抛物线与三角形全等的判定与性质，正确利用F的横坐标很P的横坐标表示出FG、PC、PQ的长是关键．