Question

10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B在x轴上，四边形OACB为平行四边形，且∠AOB=60°，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）在第一象限内过点A，且与BC交于点F．
（1）若OA=10，求反比例函数的解析式；
（2）若F为BC的中点，且S_△AOF=24$\sqrt{3}$，求OA长及点C坐标；
（3）在（2）的条件下，过点F作EF∥OB交OA于点E（如图2），若点P是直线EF上一个动点，连结，PA，PO，问是否存在点P，使得以P，A，O三点构成的三角形是直角三角形？若存在，请指出这样的P点有几个，并直接写出其中二个P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先过点A作AH⊥OB，根据∠AOB=60°，OA=10，求出AH和OH的值，从而得出A点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k的值即可．
（2）先设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，根据∠AOB=60°，得出AHAH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，OH=$\frac{1}{2}$a，求出S_△AOH的值，根据S_△AOF=24$\sqrt{3}$，求出平行四边形AOBC的面积，根据F为BC的中点，求出S_△OBF=12$\sqrt{3}$，最后根据S_{平行四边形AOBC}=OB•AH，得出OB=AC=12，即可求出点C的坐标；
（3）分别根据当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P₁，P₂；当∠PAO=90°时，求出P₃；当∠POA=90°时，求出P₄即可．根据勾股定理列出方程解决问题即可．

解答 解：（1）过点A作AH⊥OB于H，
∵∠AOB=60°，OA=10，
∴AH=5$\sqrt{3}$，OH=5，
∴A点坐标为（5，5$\sqrt{3}$），
根据题意得：5$\sqrt{3}$=$\frac{k}{5}$，解得：k=25$\sqrt{3}$，
故反比例函数解析式：y=$\frac{25\sqrt{3}}{x}$（x＞0）；

（2）设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，
∵∠AOB=60°，
∴AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，OH=$\frac{1}{2}$a，
∴S_△AOH=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$a•$\frac{1}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{8}$a²，
∵S_△AOF=24$\sqrt{3}$，
∴S_{平行四边形AOBC}=48$\sqrt{3}$，
∵F为BC的中点，
∴S_△OBF=12$\sqrt{3}$，
∵BF=$\frac{1}{2}$a，∠FBM=∠AOB，
∴FM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，BM=$\frac{1}{4}$a，
∴S_△BMF=$\frac{1}{2}$BM•FM=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$a×$\frac{1}{4}$a=$\frac{\sqrt{3}}{32}$a²，
∴S_△FOM=S_△OBF+S_△BMF=12$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{32}$a²，
∵点A，F都在y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴S_△AOH=$\frac{1}{2}$k，
∴$\frac{\sqrt{3}}{8}$a²=12$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{32}$a²，
∴a=8$\sqrt{2}$，
∴OA=8$\sqrt{2}$，
∴OH=4$\sqrt{2}$，AH=$\sqrt{3}$OH=$\sqrt{3}$×4$\sqrt{2}$=4$\sqrt{6}$，
∵S_{平行四边形AOBC}=OB•AH=48$\sqrt{3}$，
∴OB=AC=6$\sqrt{2}$，
∴C（10$\sqrt{2}$，4$\sqrt{6}$）；

（3）存在三种情况．
∵EF∥OB，
∴点P的纵坐标为：2$\sqrt{6}$，
设点P（x，2$\sqrt{6}$），
∴PA²=（x-4$\sqrt{2}$）²+（ 2$\sqrt{6}$）²=x²-8$\sqrt{2}$x+56，OP²=x²+（ 2$\sqrt{6}$）²=x²+24，OA²=128，
当∠APO=90°时，则PA²+OP²=OA²，
即x²-8$\sqrt{2}$x+56+x²+24=128，
解得：x₁=6$\sqrt{2}$，x₂=-2$\sqrt{2}$，
∴P₁（6$\sqrt{2}$，2$\sqrt{6}$），P₂（-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{6}$）；
当∠PAO=90°时，PA²+OA²=OP²，
即x²-8$\sqrt{2}$x+56+128=x²+24，
解得：x=10$\sqrt{2}$，
∴P₃（10$\sqrt{2}$，2$\sqrt{6}$）；
当∠POA=90°时，OP²+OA²=PA²，
即x²-8$\sqrt{2}$x+56=128+x²+24，
解得：x=-6$\sqrt{2}$，
∴P₄（-6$\sqrt{2}$，2$\sqrt{6}$）．
综上可得：点P坐标为P₁（6$\sqrt{2}$，2$\sqrt{6}$），P₂（-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{6}$），P₃（10$\sqrt{2}$，2$\sqrt{6}$），P₄（-6$\sqrt{2}$，2$\sqrt{6}$）．

点评 此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，要注意运用数形结合的思想，要注意（3）有三种情况，不要漏解，学会用方程思想思考问题，属于中考压轴题．