Question

17．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P是直线BD上一动点，连接PC，当PC+$\frac{PB}{2}$的值最小时，线段PD的长是（　　）

• A． $\frac{4}{3}\sqrt{3}$
• B． $\frac{2}{3}\sqrt{3}$
• C． $2\sqrt{3}$
• D． $\frac{4}{3}\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先过P作PE⊥BC于E，连接AP，根据△ABP≌△CBP可得AP=CP，当点A，P，E在同一直线上时，AP+PE最短，此时，PC+$\frac{PB}{2}$的值最小，再根据含30°角的直角三角形的性质进行计算，即可得到线段PD的长．

解答 解：如图，过P作PE⊥BC于E，连接AP，
由菱形ABCD，可得AB=CB，∠ABP=∠CBP=∠ADP=30°，
∴△ABP≌△CBP，BP=2PE，
∴AP=CP，
∴PC+$\frac{PB}{2}$=AP+PE，
∵当点A，P，E在同一直线上时，AP+PE最短，
∴此时，PC+$\frac{PB}{2}$的值最小，AP⊥AD，
∵Rt△ABE中，AB=2，
∴BE=1，AE=$\sqrt{3}$，
∴Rt△BEP中，PE=$\frac{1}{3}\sqrt{3}$，
∴AP=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
∵∠ADP=30°，
∴Rt△ADP中，PD=2AP=$\frac{4}{3}\sqrt{3}$，
故选：A．

点评 本题主要考查了菱形的性质以及最短路线问题，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，解题时注意：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．