Question

（2013•沙湾区模拟）如图，△ABC的外接⊙O的半径为R，高为AD，∠BAC的平分线交⊙O、BC于E、P，EF切⊙O交AC的延长线于F．
下列结论：①AC•AB=2R•AD；②EF∥BC；③CF•AC=EF•CP；④

CP

BP

=

SinB

SinF

．
请你把正确结论的番号都写上

①②③④

．（填错一个该题得0分）

Answer 1

分析：（1）过A作直径AN，利用直角△ACN∽直角△ADB，可得①；
（2）连接OE，由角平分线可得弧相等，即E为BC弧的中点，则OE与BC垂直，而EF是切线即EF⊥BC，得②；（3）连CE，证明△FCE∽△CMA，可得③；
（4）先把正弦化成线段的比，得到

CM

AM

=

AC

BC

而这是角平分线定理，所以得④．

解答：解：（1）过A作直径AN，连CN．则∠ACN=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
又∵∠ANC=∠B，
∴直角△ACN∽直角△ADB，而AN=2R，
∴AC•AB=2R•AD；

（2）连接OE，
∵∠BAC的平分线交⊙O于E，
∴弧CE=弧BE，∴OE⊥BC，
又∵FE是⊙O的切线，
∴FE⊥OE，
∴EF∥BC；

（3）连CE，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠F，∠FEC=∠ECM，
又∵∠ECM=∠EAB=∠CAM，
∴△FCE∽△CMA，
∴CF•AC=EF•CM；

（4）在直角三角形ADB中，sinB=

AD

BD

，
在直角三角形ADC中，sin∠ACD=

AD

DC

，而EF∥BC，∠ACD=∠F，即sinF=

AD

AC

，
∴

AC

BC

=

SinB

SinF

，而AM为角平分线，所以

CM

AM

=

AC

BC

，
∴

CP

BP

=

SinB

SinF

，
∴①②③④都正确，
故答案为①②③④．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握使用三角形相似证明等积式或比例式．熟悉圆周角定理，角平分线定理，三角函数的定义以及切线的性质等．