Question

20．如图1，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点M，正方形MNPQ与正方形ABCD全等，将正方形MNPQ绕点M顺时针旋转，在旋转过程中，射线MN与射线MQ分别交正方形ABCD的边于E、F两点．
（1）试判断ME与MF之间的数量关系，并给出证明．
（2）若将原题中的两个正方形都改为矩形且BC=6，AB=2，如图2，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系．

Answer 1

分析 （1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等；故M分别作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，易得MG=MH，而∠EMG、∠FMH都是∠GMF的余角，由此可证得∠EMG=∠FMH，即可证得△MGE≌△MHF，由此得证．
（2）此题要分四种情况讨论：
①当MN交BC于点E，MQ交CD于点F时；此种情况与（1）类似，不同的是（1）题用到的是全等，而此题运用的是相似，过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥CD于点H，通过证△MGE∽△MHF，得到关于ME、MF、MG、MH的比例关系式，联立矩形的性质及BC、AB的比例关系，即可求得ME、MF的比例关系；
②当MN的延长线交AB于点E，MQ交BC于点F时．解法同①；
③当MN、MQ两边都交边BC于E、F时，过M作MH⊥BC于H，由于M是AC的中点，且已知AB的长，即可求得MH=1，在Rt△EMF中，MH⊥EF，易证得△MEH∽△FEM，△FMH∽△FEM．可得EH×FH=MH²，MF²=FH•FE=1，ME²=EH×FE，再通过△FMH∽△FEM的性质得到$\frac{1}{M{F}^{2}}$+$\frac{1}{M{E}^{2}}$=$\frac{1}{EH•EF}$+$\frac{1}{FH•EF}$=$\frac{FH+EH}{EH•FH•EF}$=$\frac{EF}{EH•FH•EF}$=$\frac{1}{EH•FH}$=1；
④当MN交BC边于E点，MQ交AD于点F时．可延长EM交BC于G，易证得△MED≌△MGB，即可得ME=MG，那么这种情况下与③完全相同，即可得解．

解答 （1）证明：如图1，过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥CD于点H，
∴∠MGE=∠MHF=90°．
∵M为正方形对角线AC、BD的交点，∴MG=MH．
又∵∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°，∴∠1=∠2．
在△MGE和△MHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{MG=MH}\\{∠MGE=∠MHF}\end{array}\right.$，
∴△MGE≌△MHF（ASA），
∴ME=MF；

（2）解：①当射线MN交BC于点E，射线MQ交CD于点F时，
如图2，过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥CD于点H，
∴∠MGE=∠MHF=90°．
∵M为矩形对角线AC、BD的交点，
∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°，
∴∠1=∠2，
在△MGE和△MHF中，
∠1=∠2，∠MGE=∠MHF，
∴△MGE∽△MHF．
∴$\frac{ME}{MF}=\frac{MG}{MH}$
∵M为矩形对角线AB、AC的交点，
∴MB=MD=MC，
又∵MG⊥BC，MH⊥CD，
∴点G、H分别是BC、DC的中点．
∵BC=6，AB=2，
∴MG=1，MH=3，
∴$\frac{ME}{MF}$=$\frac{MG}{MH}$=$\frac{1}{3}$，即MF=3ME；
②如图3，当射线MN交AB于点E，射线MQ交BC于点F时，过点M作MG⊥AB于点G，MH⊥BC于点H，
∴∠MGE=∠MHF=90°，
∵M为矩形对角线AC、BD的交点，
∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°．
∴∠1=∠2，
在△MGE和△MHF中，
∠1=∠2，∠MGE=∠MHF，
∴△MGE∽△MHF，
∴$\frac{ME}{MF}$=$\frac{MG}{MH}$，
∵M为矩形对角线AC、BD的交点，
∴MB=MA=MC，
又∵MG⊥AB，MH⊥BC，
∴点G、H分别是AB、BC的中点．
∵BC=6，AB=2，
∴$\frac{ME}{MF}$=$\frac{MG}{MH}$=3，即ME=3MF；
③如图4，当射线MN交BC于点E，射线MQ交BC于点F时，
由△MEH∽△FMH，得EH×FH=MH²，MF²=FH•FE=1，
由△MEH∽△FEM，得ME²=EH×FE，
∴△FMH∽△FEM．
∴$\frac{1}{M{F}^{2}}$+$\frac{1}{M{E}^{2}}$=$\frac{1}{EH•EF}$+$\frac{1}{FH•EF}$=$\frac{FH+EH}{EH•FH•EF}$=$\frac{EF}{EH•FH•EF}$=$\frac{1}{EH•FH}$=1；
④如图5，当射线MN交BC边于E点，射线MQ交AD于点F时．
延长FM交BC于点G．
易证△MFD≌△MGB．
∴MF=MG．
同理，由③得$\frac{1}{M{G}^{2}}$+$\frac{1}{M{E}^{2}}$=1，故$\frac{1}{M{F}^{2}}$+$\frac{1}{M{E}^{2}}$=1．
综上所述：ME与MF的数量关系是ME=3MF或MF=3ME或$\frac{1}{M{F}^{2}}$+$\frac{1}{M{E}^{2}}$=1．

点评 此题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识的综合应用；由于（2）题的情况较多，做到不漏解是此题的难点