Question

11．如图，AB是⊙O的直径，延长BA至点P，过点P作⊙O的切线PC，切点为C，过点B向PC的延长线作垂线BE交该延长线于点E，BE交⊙O于点D，已知PA=1，PC=$\sqrt{3}$OC，
（1）求BE的长；
（2）连结DO，延长DO交⊙O于F，连结PF，
①求DE的长；
②求证：PF是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）在直角△OPC中，利用勾股定理即可得到圆的半径长，然后利用相似三角形的性质求得BE的长；
（2）①证明△OBD是等边三角形，即可求得DE的长；
②首先证明△OPC≌△OPF，根据切线的判定定理即可证得．

解答 解：（1）设圆的半径是r，则OP=PA+r=1+r，OC=r，PC=$\sqrt{3}$r．
∵PC是圆的切线，
∴∠PCO=90°，
∴在直角△PCO中，PC²+OC²=OP²，即（$\sqrt{3}$r）²+r²=（1+r）²，
解得：r=1或r=-$\frac{1}{3}$（舍去负值）．
在直角△OPC中，cos∠POC=$\frac{OC}{OP}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠POC=60°，
∵∠PCO=90°，BE⊥BC，
∴BE∥OC，
∴△OPC∽△BPE，∠B=∠POC=60°，
∴$\frac{OC}{BE}$=$\frac{OP}{BP}$=$\frac{2}{3}$，
∴BE=$\frac{2}{3}$OC=$\frac{3}{2}$；

（2）①在△OBD中，OB=OD，∠B=60°，
∴△OBD是等边三角形，BD=OB=1，∠BOD=60°．
∴DE=BE-BD=$\frac{3}{2}$-1=$\frac{1}{2}$；
②∵在△OPC和△OPF中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=OF}\\{∠POF=∠BOD}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△OPC≌△OPF（SAS），
∴∠OFP=∠OCP=90°，
∴PF是⊙O的切线．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理、切线的判定、三角函数的综合应用，利用勾股定理求得圆的半径是关键．