Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式y=-x+2并且线段CM的长为2

2

，
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线与x轴有两个交点A（x₁，0）、B（x₂，0），且点A在B的左侧，求线段AB的长．

Answer 1

（1）令x=0，则y=2，
所以，点C（0，2），
∵点M在直线y=-x+2上，
∴设点M的坐标为M（x，-x+2），
由勾股定理得CM=

x2+(-x+2-2)2

=2

2

，
整理得，x²=4，
解得x₁=2，x₂=-2，
当x₁=2时，y₁=-2+2=0，
当x₂=-2，y₂=-（-2）+2=4
∴M（-2，4）或M（2，0），
当M（-2，4）时，设抛物线解析式为y=a（x+2）²+4，
∵抛物线过点C（0，2），
∴a（0+2）²+4=2，
解得a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

x²-2x+2，
当M（2，0）时，设抛物线解析式为y=a（x-2）²，
∵抛物线过点C（0，2）点，
∴a（0-2）²=2，
解得a=

1

2

，
∴y=

1

2

x²-2x+2，
∴所求抛物线为：y=-

1

2

x²-2x+2或y=

1

2

x²-2x+2；

（2）∵抛物线与x轴有两个交点，
∴y=

1

2

x²-2x+2不合题意，舍去．
∴抛物线应为：y=-

1

2

x²-2x+2，
令y=0，则-

1

2

x²-2x+2=0，
整理得，x²+4x-4=0，
解得x₁=-2+2

2

，x₂=-2-2

2

，
∵点A在B的左侧，
∴点A（-2-2

2

，0），B（-2+2

2

，0），
∴AB=（-2+2

2

）-（-2-2

2

）=4

2

．